Vectores independientes
Keywords: Vectores independientes, Escalar, Espacio vectorial
Se dice que dos vectores u y v de un mismo espacio vectorial son independientes si no son proporcionales, es decir si uno de ellos no es un múltiple del otro: para cualquier escalar k, tenemos: u ≠ kv. Es equivalente decir que el sistema ( u;v )compuesto por los dos vectores es libre. Geometricamente, dos vectores son independientes si no tienen la misma dirección (con sentidos idénticos u opuestos). Esta definición supone que el vector nulo tiene todas las direcciones.
Tres vectores son independientes si y sólo si no están contenidos en el mismo plano vectorial, o sea si ninguno de ellos es una combinación lineal de los otros dos (en cuyo caso estaría en el plano generado por estos vectores).
Esta noción se generaliza a un número cualquiera de vectores: n vectores son independientes si ninguno de ellos es una combinación lineal de los demás, o, de manera equivalente, si no existe una combinación lineal no nula de los vectores cuyo resultado es el vector nulo:
formalmente: a1v1+ a2v2+ ..... +anvn = o implica a1 = a2 = ..... = a2 = 0. (fórmula f)
El espacio generado por un sistema de vectores es el conjunto de todas las combinaciones lineales de estos vectores. Es un espacio vectorial. El espacio generado por un vector no nulo es la recta vectorial dirigido por este vector. El espacio generado por dos vectores independientes es el plano que los contiene. Resulta fácil comprobar que el espacio generado por un sistema de vectores es el menor (por la inclusión) espacio vectorial que los contiene a todos. Se le denomina vect A, donde A es el sistema de vectores. Si n vectores son independientes, el espacio generado es de dimensión n (dimensión en el sentido usual: 0 para un punto, 1 para una recta, 2 para un plano ...)
Ejemplo, en el espacio tridimensional usual:
Imagen:vectores independientes.jpg
Ejemplo del uso de la fórmula f:
Imagen:vectores independientes cálculo.jpg
Por lo tanto los tres vectores son independientes.
Categoría: Álgebra