Autovector

Keywords: Autovector, Análisis funcional, Autovalor, Base, Conjunto, Determinante, Espacio de Banach, Espacio de Hilbert, Espacio vectorial

En álgebra lineal, los vectores propios (o eigenvector del alemán eigen que significa "propio, inherente, característico") de un operador lineal son los vectores diferentes de cero que, cuando son transformados por el operador, dan lugar a un múltiplo escalar de sí mismo. El escalar entonces se llama el valor propio asociado al vector propio.

En matemáticas aplicadas y en física los vectores propios (autovectores) de una matriz o de un operador diferencial tienen a menudo significación física importante. En mecánica clásica los vectores propios de las ecuaciones directoras corresponden típicamente a los modos naturales de vibración de un cuerpo, y los valores propios a sus frecuencias. En mecánica cuántica, los operadores corresponden a las variables observables, los vectores propios también se llaman los eigenstates, y los valores propios de un operador representan esos valores de la variable correspondiente que tengan probabilidad diferente de cero de ocurrir.

Tabla de contenidos

1 Ejemplos

2 Definición

3 Identificando vectores propios

4 El polinomio característico

5 Vectores propios complejos

6 Espacios infinito-dimensionales

7 Véase también

8 Referencias externas

Ejemplos

Intuitivamente, para las transformaciones lineales del espacio de dos dimensiones R ², los vectores propios son:

rotación: ningun vector propio a valores reales. (pares valor propio, vector propio complejos existen).

reflexión: los vectores propios son perpendiculares y paralelos al eje de simetría, los valores propios son -1 y 1, respectivamente.

escalado uniforme: todos los vectores son vectores propios, y el valor propio es el factor de escala.

proyección sobre una recta: los vectores propios con el valor propio 1 son paralelos a la línea, vectores propios con el valor propio 0 son paralelos a la dirección de la proyección

Definición

Formalmente, definimos vectores propios y valores propios como sigue: Si A: V → V es un operador lineal en un cierto espacio vectorial V, v es un vector diferente de cero en V y c es un escalar (posiblemente cero) tales que

$\mathbf{A} \mathbf{v} = c \mathbf{v},$

entonces decimos que v es un vector propio del operador A, y su valor propio asociado es c. Observe que si v es un vector propio con el valor propio c entonces cualquier múltiplo diferente de cero de v es también un vector propio con el valor propio c. De hecho, todos los vectores propios con el valor propio asociado c junto con 0, forman un subespacio de V, el espacio propio para el valor propio c.

Identificando vectores propios

Por ejemplo, considere la matriz

$A = \begin{bmatrix} \; 0 & 1 & -1 \\ \; 1 & 1 & \; 0 \\ -1 & 0 & \; 1 \end{bmatrix}$

que representa un operador lineal R³ → R³. Uno puede comprobar que

$A \begin{bmatrix} \; 1 \\ \; 1 \\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \; 2 \\ \; 2 \\ -2 \end{bmatrix} = 2 \begin{bmatrix} \; 1 \\ \; 1 \\ -1 \end{bmatrix}$

y por lo tanto 2 es un valor propio de A y hemos encontrado un vector propio correspondiente.

El polinomio característico

Una herramienta importante para describir valores propios de matrices cuadradas es el polinomio característico: decir que c es un valor propio de A es equivalente a establecer que el conjunto de las ecuaciones lineales (A - c I) x = 0 (donde la matriz I es la identidad) tiene una solución diferente a cero x (es decir un vector propio), y así que es equivalentes a que el determinante det(A - c I) sea cero. La función p(c) = det(A - c I) es un polinomio en c puesto que los determinantes se definen como sumas de productos. Éste es el polinomio característico A; sus ceros son exactamente los valores propios de A. Si A es una matriz n por n, entonces su polinomio característico tiene grado n y A por lo tanto puede tener a lo sumo n valores propios.

Volviendo al ejemplo de arriba, si deseamos computar todos los valores propios de A, podríamos determinar el polinomio característico primero:

$p(x) = \det( A - xI) = \begin{vmatrix} -x & 1 & -1\;\; \\ \;\;1 & 1\!-\!x & 0 \\ -1 & 0 & 1\!-\!x \end{vmatrix}$

$= -x^3 + 2x^2 + x - 2\$

y porque p(x) = - (x - 2)(x - 1)(x + 1) vemos que los valores propios de A son 2, 1 y -1. El teorema de Cayley-Hamilton establece que cada matriz cuadrada satisface su propio polinomio característico.

(en la práctica, los valores propios de matrices grandes no se computan usando el polinomio característico. Métodos más rápidos y numéricamente estables están disponibles, por ejemplo la descomposición QR.)

Vectores propios complejos

Observe que si A es una matriz real, el polinomio característico tendrá coeficientes reales, pero no todas sus raíces serán necesariamente reales. Los valores propios complejos serán asociados a los vectores propios complejos.

En general, si v₁..., v_m son vectores propios de diversos valores propios λ₁..., λ_m, entonces los vectores v₁..., v_m es necesariamente linealmente independiente.

El teorema espectral para las matrices simétricas establece que, si A es una matriz n por n simétrica real, entonces todos sus valores propios son reales, y existen n vectores propios linealmentre independientes para A que tienen todos longitud 1 y son mutuamente ortogonales.

Nuestra matriz del ejemplo antedicho es simétrica, y tres vectores propios mutuamente ortogonales para A son

$v_1 = \begin{pmatrix}\; 1 \\ \;1 \\ -1 \end{pmatrix}$

$v_2 = \begin{pmatrix}\; 0\;\\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

$v_3 = \begin{pmatrix}\; 2 \\ -1 \\ \; 1 \end{pmatrix}$

Estos tres vectores forman una base de R³. Con respecto a esta base, el función lineal representado por A toma una forma particularmente simple: cada vector x en R³ se puede escribir únicamente como

$\mathbf{x} = x_1 \mathbf{v}_1 + x_2 \mathbf{v}_2 + x_3 \mathbf{v}_3$

y entonces tenemos

$\mathbf{A x} = 2x_1 \mathbf{v}_1 + x_2 \mathbf{v}_2 - x_3 \mathbf{v}_3.$

Espacios infinito-dimensionales

El concepto de vectores propios se puede ampliar a los operadores lineales que actúan en los espacios de Hilbert infinito-dimensionales o los espacios de Banach.

Hay operadores en los espacios de Banach que no tienen ningún vector propio. Por ejemplo, tome despazamiento bilateral en el espacio de Hilbert $\ell^2(\mathbb{Z})$ ; es fácil ver que ningún vector propio potencial puede ser cuadrado-sumable, así que no existe ninguno. Sin embargo, cualquier operador lineal acotado en un espacio de Banach V tiene espectro no vacío. El espectro $σ(T)$ del operador T V → V se define como

$\sigma(T) = \{ \lambda\in\mathbb{C} : (\lambda 1 - T)\;$ no es inversible $\}. \;$

Entonces σ(T) es un conjunto compacto de números complejos, y es no vacío. Cuando T es un operador compacto (y en particular cuando T es un operador entre espacios finito-dimensionales como arriba), el espectro de T es igual que el conjunto de sus valores propios.

El espectro de un operador es una propiedad importante en análisis funcional.

Véase también

Autovalor
Espectro de un operador
Teorema espectral

Referencias externas

Categoría:Álgebra abstracta Categoría:Álgebra Categoría:Álgebra lineal