Vector (física)

Keywords: Vector (física), Aceleración, Escalar, Fuerza, Teorema de Pitágoras, Velocidad

Tabla de contenidos

3.1 Módulo resultante
3.2 Deducción de la expresión
3.3 Obtención de la Dirección

Definición física

Un vector en física es un concepto que nos permite describir magnitudes direccionales tales como velocidad, aceleración o fuerza. Un vector se representa por un segmento con una flecha, para denotar su sentido (el de la flecha) su magnitud (la magnitud de la flecha) y el punto de donde parte. Para este tipo de vectores (generalmente bi o tridimensionales) se definen módulo, dirección y sentido.

Los vectores se pueden representar con letras, con una flecha encima. Así: $\vec{a}$ .

Un vector tiene las siguientes propiedades:

- Punto de aplicación, es el orígen del segmento.

- Módulo, representa la cantidad (valor númerico), a escala, de la magnitud vectorial. Es la longitud del segmento, siempre en valor absoluto. Por ejemplo, si queremos expresar que el módulo de $\vec{a}$ vale 5 unidades, se hace así: $|\vec{a}|=5u$ .

- Dirección, que es la del segmento. A la recta que contiene el vector se le llama línea de acción.

- Sentido, distinguiendose dos sentidos sobre la recta de aplicación del vector.

Se dice que dos vectores son concurrentes cuando tienen el mismo punto de aplicación.

Un vector opuesto a otro es el que tiene el mismo punto de aplicación, módulo y dirección pero sentido contrario. Así el vector opuesto a $\vec{a}$ es $-\vec{a}$ .

Expresado con fórmulas, dado un vector tridimensional, sus coordenadas serían $\vec{r}=(x,y,z)$ , su módulo sería $|\vec{r}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ . Su dirección estaría dada por la recta que contiene a dicho vector, y su sentido podría ser "hacia un lado" o "hacia el otro". También se puede separar un vector en módulo, y dar la dirección y sentido con un vector unitario que se calcula como: $\vec{r_U} = \frac{x_i + y_j + z_k}{|\vec{r}|}$ , siendo i, j y k los vectores (1,0,0), (0,1,0) y (0,0,1) respectivamente.

Ver también escalar.

Suma y Resta de Vectores gráficamente

Para sumar dos o más vectores gráficamente se necesita conocer el módulo, dirección y sentido de los vectores. Para expresar la dirección se puede utilizar el ángulo que forma con el eje positivo +x .

Un método es colocar los vectores uno a continuación del otro, es decir, colocar el punto de aplicación del segundo vector en el final del primero, y así sucesivamente si hay más vectores (recordando que podemos utilizar una escala para los módulos).

Al acabar de colocar los vectores, se traza un segmento desde el punto de aplicación del primer vector al final del último vector, y obtenemos el vector suma cuyo punto de aplicación es el mismo que el del primer vector.

Ejemplo: Dados los vectores $\vec{a}$ y $\vec{b}$ , obtener módulo, dirección y sentido del vector $\vec{a}+\vec{b}$ .

Suma de Vectores gráficamente

En el ejemplo, si la línea de acción en la que se apoya el vector $\vec{a}$ es el semieje +x, podemos decir que $\vec{a}$ forma 0º con el semieje +x; $\vec{b}$ forma un ángulo $θ$ con el semieje +x; y $\vec{a}+\vec{b}$ forma un ángulo $α$ con el semieje +x.

La suma de vectores es conmutativa:

$\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}$

Para restar vectores se realiza una suma del primer vector con el vector opuesto del segundo:

$\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+\left(-\vec{b} \right)$

Suma y resta de vectores analítica

Módulo resultante

Dados dos vectores $\vec{a}$ y $\vec{b}$ , conociendo sus módulos y el ángulo que forman entre sí (llamémosle $θ$ ), podemos obtener el módulo $\left|\vec{a}+\vec{b}\right|$ con la siguiente fórmula:

$\left| \vec{a} + \vec{b} \right| = \sqrt{\left. | \vec{a} \right|^2 + \left| \vec{b} \right|^2 + 2| \vec{a} | \left| \vec{b} \right| \cos \theta }$

Deducción de la expresión

Si tenemos dos vectores $\vec{a}$ y $\vec{b}$ que forman un ángulo $θ$ entre sí, colocados para sumar. Veamos la imágen de nuevo:

Imágen de vectores colocados

Vamos a deducir la fórmula para calcular $\left| \vec{a} + \vec{b} \right|$ .

Observemos en la imágen los triángulos rectángulos que se forman, OCB y ACB.

Aplicamos el Teorema de Pitágoras. En el triángulo OCB :

$O B 2 = O C 2 + C B 2$

$OB = | \vec{a} + \vec{b} |$

$OC = \left| \vec{a} \left| + AC \right. \right.$

Resultando:

$\left| \vec{a} + \vec{b} \right|^2 = \left( | \vec{a} | + AC \right)^2 + CB^2$

En el triángulo ACB :

$\frac{AC}{| \vec{b} |} = \cos \theta$

$AC = | \vec{b} | \cos \theta$

$\frac{CB}{| \vec{b} |} = sen \theta$

$CB = | \vec{b} | sen \theta$

Sustituyendo esto en la igualdad de antes resulta:

$\left| \vec{a} + \vec{b} \right|^2 = \left( | \vec{a} | + | \vec{b} | \cos \theta \right)^2 + \left( \left| \vec{b} | sen \theta \right)^2 \right.$

$\left. \left| \vec{a} + \vec{b} \right|^2 = | \vec{a} |^2 + 2| \vec{a} | | \vec{b} \right| \cos \theta + \left| \vec{b} \right|^2 \cos^2 \theta + \left| \vec{b} \right|^2 sen^2 \theta$

$\left. \left| \vec{a} + \vec{b} \right|^2 = | \vec{a} |^2 + 2| \vec{a} | | \vec{b} \right| \cos \theta + \left| \vec{b} \right|^2 \left( \cos^2 \theta + sen^2 \theta \right)$

$\left. \cos^2 \theta + sen^2 \theta = 1 \rightarrow \left| \vec{a} + \vec{b} \right|^2 = | \vec{a} |^2 + 2| \vec{a} | | \vec{b} \right| \cos \theta + \left| \vec{b} \right|^2$

$\left| \vec{a} + \vec{b} \right| = \sqrt{\left. | \vec{a} |^2 + 2| \vec{a} | | \vec{b} \right| \cos \theta + \left| \vec{b} \right|^2}$

$\left| \vec{a} + \vec{b} \right| = \sqrt{\left. | \vec{a} |^2 + \left| \vec{b} \right|^2 + 2| \vec{a} | | \vec{b} \right| \cos \theta}$

Obtención de la Dirección

Para obtener los ángulos $α,β$ directores en el anterior ejemplo tenemos que conocer el ángulo $θ$ y tener calculado $\left|\vec{a}+\vec{b}\right|$ .

Podemos usar esta fórmula:

$\frac{|\vec{b}|}{sen \alpha }=\frac{|\vec{a}|}{sen \beta }=\frac{\left|\vec{a}+\vec{b}\right|}{sen \theta }$

Con la fórmula obtendremos los senos, después para hallar el ángulo a partir del seno tenemos que tener en cuenta que:

$α + β = θ$