Variación

Keywords: Variación, Conjunto, Matemáticas, Música, Permutación, Regla del producto, Variación (música)

En matemáticas, dado un conjunto $C$ de $n$ elementos, una variación de orden $k(\le n)$ es una ordenación de $k$ elementos de $C$ . Cuando las variaciones sólo contienen elementos distintos, se denominan variaciones sin repetición; cuando pueden contener varias veces el mismo elemento, se denominan variaciones con repetición.

Para determinar cuántas variaciones sin repetición de orden $k$ se pueden formar a partir de un conjunto de $n$ elementos, basta tener en cuenta que el primer elemento de la ordenación se puede elegir de $n$ formas distintas; el segundo de $n - 1$ formas distintas (ya que ahora falta un elemento en el conjunto); el tercero de $n - 2$ formas distintas, y así sucesivamente. El resultado, aplicando la regla del producto, es

$V_k^n=(n)_k=n(n-1)\cdots (n-k+1)=\frac{n!}{(n-k)!}$ .

Una razonamiento combinatorio para obtener este resultado es el siguiente. Se construyen todas las permutaciones de los $n$ elementos del conjunto (en total $n!$ ); de ellas por cada secuencia determinada de los primeros $k$ elementos habrá tantas permutaciones como ordenaciones posibles haya de los restantes $n - k$ elementos (esto es, $(n - k)!$ ). El número total de variaciones es el número de permutaciones totales dividido por el de permutaciones con la misma secuencia inicial de $k$ elementos.

Para determinar las variaciones con repetición, basta tener en cuenta que en la segunda posición y siguiente pueden volverse a utilizar los elementos ya elegidos; por lo tanto

$VR_k^n=n^k$ .

En música, véase Variación (música)

Categoría:Combinatoria