Autovalor
Keywords: Autovalor, Anillo, Análisis funcional, Autovector, Cuaterniones, Determinante, Escalar, Espacio de Banach
En álgebra lineal, un escalar λ se llama un autovalor o valor propio (en algunos textos más viejos, un valor característico) de una función lineal A si existe un vector distinto de cero x tal que Ax = λx. El vector x se llama vector propio o autovector.
En teoría de matrices, un elemento en el anillo subyacente R de una matriz cuadrada A se llama un valor propio derecho si existe un vector columna distinto de cero x tales que Ax = λx, o un valor propio izquierdo si existe un vector fila distinto de cero y tales que yA = yλ. Si R es conmutativo, los valores propios izquierdos de A son exactamente los valores propios derechos de A y solamente se llaman valores propios. Si R no es conmutativo, e.g. los cuaterniones, pueden ser diferentes.
En teoría de grafos, un valor propio de un grafo es simplemente un valor propio de la matriz de adyacencia del grafo.
Multiplicidad
Suponga que A es una matriz cuadrada sobre un anillo conmutativo. La multiplicidad algebraica (o simplemente la multiplicidad) de un valor propio λ de A es el número de factores t-λ del polinomio característico de A. La multiplicidad geométrica de λ es el número de factores t-λ del polinomio mínimo de A o equivalentemente de la nulidad de (λI - A).
Un valor propio de multiplicidad algebraica 1 se llama un valor propio simple.
Espectro
En análisis funcional, el espectro de un operador lineal acotado A en un espacio de Banach es el conjunto de escalares ν tales que el νI- A no tiene un inverso bilátero acotado. Observe que por el teorema del gráfico cerrado, si un operador acotado tiene inverso, el inverso es acotado necesariamente.
Si el espacio subyacente de Banach es finito dimensional, entonces el espectro de A es igual al conjunto de valores propios de A. Esto se sigue del hecho que en los espacios finito dimensionales injectividad de un operador lineal A es equivalente a suryectividad de A.
Traza y determinante
Suponga que los valores propios de una matriz A son λ1, λ2..., λn. Entonces la traza de A es λ1 + λ2 +... + λn y el determinante de A es λ1 λ2...λn. Estos dos son conceptos muy importantes en teoría de matrices.
Véase también: