Unidad (álgebra)
Keywords: Unidad (álgebra), Anillo (matemáticas), Funtor, Grupo (matemáticas), Matemáticas, Monoide, Teoría de categorías, Anillo unitario, Homomorfismo de anillos
En matemáticas, una unidad en un anillo R es un elemento u tal que existe un v en R con
- uv = vu = 1R.
Esto es, u es un elemento invertible del monoide multiplicativo de R. Las unidades de R forman un grupo U(R) con la operación multiplicación.
Cualquier raíz de la unidad es una unidad. En Teoría algebraica de números, el teorema de unidades de Dirichlet muestra que la existencia de muchas unidades en la mayoría de los anillos de enteros algebraicos. Por ejemplo, tenemos
- (√5 + 2)(√5 - 2) = 1.
De hecho esto es el motivo de la terminología unidad — que no debe confundirse con la 'unidad' en los anillos unitarios.
Se puede comprobar que U es un funtor desde la categoría de los anillos, a la de grupos: un homomorfismo de anillos debe llevar unidades a unidades. Tiene un adjunto por la izquierda, la construcción del anillo de grupos integral.