Transformación lineal

Keywords: Transformación lineal, Automorfismo, Biyectiva, Dimensión de un espacio vectorial, Dominio, Endomorfismo, Epimorfismo, Escalar, Espacio vectorial

Tabla de contenidos

1 Definición 1.1 Transformación lineal nula 1.2 Transformación lineal identidad 1.3 Homotecias 2 Propiedades de las transformaciones lineales 3 Núcleo (kernel) e imagen 4 Teorema de las dimensiones 5 Teorema fundamental de las transformaciones lineales 6 Clasificación de las transformaciones lineales 7 Matriz asociada a una transformación lineal

Definición

Se denomina transformación lineal a toda función cuyo dominio y codominio sean espacios vectoriales y se cumplan las siguientes condiciones:

1. T(u + v) = T(u) + T(v)
2. T(ku) = kT(u) donde k es un escalar.

Transformación lineal nula

Transformación lineal identidad

Homotecias

con

Si |k| > 1 se denominan dilataciones

Si |k| < 1 se denominan contracciones

Ver artículo sobre Homotecias

Propiedades de las transformaciones lineales

1. 

Núcleo (kernel) e imagen

Si es lineal, se define el núcleo y la imagen de T de la siguiente manera:

• Es decir que el núcleo de una transformación lineal está formado por el conjunto de todos los vectores del dominio que tienen por imagen al vector nulo del codominio.

• El núcleo de toda transformación lineal es un subespacio del dominio:

1. dado que T(0_V) = 0_W
2. Dados
3. Dados

• Se denomina nulidad a la dimensión del núcleo. Nulidad(T) = dim(Nu(T))

• O sea que la imagen de una transformación lineal está formada por el conjunto de todos los vectores del codominio que son imágenes de al menos algún vector del dominio.
• La imagen de toda transformación lineal es un subespacio del codominio.
• El rango de una transformación lineal es la dimensión de la imagen.

rg(T) = dim(Im(T))

Teorema de las dimensiones

dim(Nu(T)) + dim(Im(T)) = dim(V)

Teorema fundamental de las transformaciones lineales

• Sea B = {v₁,v₂,v₃,...v_n} base de V y C = {w₁, w₂, w₃,...w_n n} un conjunto de vectores de W no necesariamente distintos, entonces existe una única transformación lineal Para todo

Clasificación de las transformaciones lineales

1. Monomorfismo: Si es inyectiva, o sea si el único elemento del núcleo es el vector nulo. Nu(T) = 0_V
2. Epimorfismo: Si es sobreyectiva.
3. Isomorfismo: Si es biyectiva.
4. Endomorfismo: Si o sea si el dominio es igual al codominio.
5. Automorfismo: Si es endomorfismo e isomorfismo a la vez.

Matriz asociada a una transformación lineal

• Sea una transformación lineal es posible encontrar una matriz asociada a una transformación lineal

Keywords: Transformación lineal, Automorfismo, Biyectiva, Dimensión de un espacio vectorial, Dominio, Endomorfismo, Epimorfismo, Escalar, Espacio vectorial