Teoría de la medida
Keywords: Teoría de la medida, Análisis funcional, Análisis matemático, Análisis real, Axiomas de probabilidad, Característica de Euler, Conjunto, Espacio de Banach, Estadística
En matemáticas, una medida es una función que asigna un número, e.g., un "tamaño", un "volumen", o una "probabilidad", a los subconjuntos de un Conjunto dado. El concepto es importante para el Análisis matemático y para la Teoría de la probabilidad.
La Teoría de la Medida es la rama del Análisis real que investiga las sigma álgebras, las medidas, funciones medibles e Integrales. Es de importancia en Probabilidad y Estadística.
Mirar también Integración de Lebesgue, Medida de Lebesgue
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Definiciones formales
Formalmente, una medida μ es una función que asigna a cada elemento S de una sigma álgebra dada X un valor μ(S), que es un número real no negativo o ∞. Debe satisfacer las siguientes propiedades:
- La medida del conjunto vacío es cero: μ({}) = 0.
- La medida es contablemente aditiva: si
E1, E2, E3, ... son una cantidad "numerable" de conjuntos disjuntos dos a dos de la sigma álgebra X y E es su Unión, entonces la medida μ(E) es igual a la suma ∑μ(Ek).
Si μ es una medida sobre el sigma álgebra X, sus elementos (que son conjuntos) son denominados conjuntos μ-medibles, o simplemente conjuntos medibles. Un conjunto Ω junto con una sigma álgebra X sobre Ω y una medida μ sobre X se dice Espacio de medida.
Las siguientes propiedades pueden derivarse de la definición:
- Si E1 y E2 son dos conjuntos medibles siendo E1 un subconjunto de E2, entonces μ(E1) ≤ μ(E2).
- Si E1, E2, E3, ... son conjuntos medibles y En es un subconjunto de En+1 para todo n, entonces la unión E de los conjuntos En es medible y μ (E) = lim μ(En).
- Si E1, E2, E3, ... son conjuntos medibles y En+1 es un subconjunto de En para todo n, entonces la intersección E de los conjuntos En es medible; además, si al menos uno de los En tiene medida finita, entonces μ(E) = lim μ(En).
Medidas sigma-finitas
Un espacio de medida Ω se dice finito si μ(Ω) es un número real finito (no infinto ∞). Y se dice σ-finite si Ω es la unión contable de conjuntos medibles de medida finita. Un conjunto en un espacio de medida tiene medida σ-finita si es una unión contable de conjuntos de Medida finita.
Por ejemplo, los números reales con la Medida de Lebesgue estándard forman un álgebra σ-finita pero no finita. Considera el Intervalo cerrado [k,k+1] para todo entero k; hay un número contable de tales intervalos y cada uno tiene medida 1, su unión es la línea real completa. De forma alternativa, considera los números reales con la Medida de contar, que asigma a cada conjunto finito de números reales el número de puntos en el conjunto. Esta medida no es σ-finita, ya que cada conjunto de medida finita contiene puntos en número finito, Y para cubrir toda la línea con ellosse deberían tomar un número infinito no contable. Los espacios de medida σ-finita tienen algunas propiedades agradables; así, la σ-finitud puede ser comparada a la separabilidad de los espacios topológicos.
Conjuntos nulos
Un conjunto medible S es llamado un conjunto nulo si μ(S) = 0. La medida μ se dice completa si cada subconjunto de un conjunto nulo es medible (y por tanto automáticamente otro conjunto nulo).
Ejemplos
Listamos algunos ejemplos de medida importantes.
- La medida de contar se define por μ(S) = número de elementos en S.
- La Medida de Lebesgue es la única medida completa posible que además es invariante por traslaciones sobre una sigma álgebra que contenga a los intervalos en R y tal que μ([0,1]) = 1.
- La Medida de Haar para un Grupo topológico localmente compacto es una generalización de la medida de Lebesgue y tiene una propiedad de unicidad similar.
- La medida cero es la definida mediante μ(S) = 0 para todo S.
- Cada espacio de probabilidad da lugar a una medida que toma el valor 1 sobre todo el espacio (y por tanto toma todos sus valores dentro del intervalo unidad [0,1]). Tal medida es denominada medida de probabilidad. Mira los Axiomas de probabilidad.
Generalizaciones
Para ciertos propósitos, es útil tener una "medida" cuyos valores no se restrinjan a los reales no-negativos o el infinito. Por ejemplo, Una función de conjunto contablemente aditiva con valores en los números reales (con signo) es llamada una medida con signo, mientras que tal tipo de función con valores en los números complejos se dice una medida compleja. Una medida que tome valores en un Espacio de Banach es llamada una medida espectral; son usadas a menudo en Análisis funcional en el Teorema espectral. Para distinguir la medida usual, con valores positivos de las generalizaciones, hablamos de medidas positivas.
Otra generalización es la medida finitamente aditiva. Es lo mismo que una medida excepto que en vez de requirir aditividad contable sólo se necesita aditividad finita. Históricamente, esta definición fue la usada en primer lugar, pero no probó ser tan útil como la otra.
El interesante resultado en la Geometría integral conocido como Teorema de Hadwiger establece que el espacio de funciones de conjunto invariantes por traslaciones, finitamente aditivas, no necesariamente no-negativas definidas sobre las uniones finitas de conjuntos compactos y convexos en Rn consiste (salvo múltiplos escalares) de una "medida" que es "homogénea de grado k" para cada k=0,1,2,...,n, y combinaciones lineales de esas "medidas". "Homogéneas de grado k" significa que si "re-escalamos" cualquier conjunto por un factor c>0 multiplicaremos la "medida" del conjunto en el factor ck. La homogénea de grado n es el volumen ordinario n-dimensional. La homogénea de grado n-1 es el "volumen de superficie". La homogénea de grado 1 es una función misteriosa llamada "anchura media"("mean width"), un nombre equivocado. La homogénea de grado 0 es la característica de Euler.