Teoría de la computabilidad
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La Teoría de la computabilidad es la parte de la computación que estudia los problemas de decisión que pueden ser resueltos con un algoritmo o equivalentemente con una máquina de Turing. La teoría de la computabilidad se interesa a cuatro preguntas:
- ¿Que problemas puede resolver una máquina de Turing?
- ¿Que otros formalismos equivalen a las máquinas de Turing?
- ¿Que problemas requieren máquinas más poderosas?
- ¿Que problemas requieren máquinas menos poderosas?
La teoría de la complejidad computacional clasifica las funciones computables según el uso que hacen de diversos recursos en diversos tipos de máquina.
¿Que problemas puede resolver una máquina de Turing?
No todos los problemas pueden ser resueltos. Un problema indecidible es uno que no puede ser resuelto con un algoritmo aún si se dispone de espacio y tiempo ilimitado. Actualmente se conocen muchos problemas indecidibles, como por ejemplo:
- El Entscheidungsproblem (problema de decisión en alemán) que se define como: Dada una frase del cálculo de predicados de primer orden, decidir si ella es un teorema. Church y Turing demostraron independientemente que este problema es indecidible.
- El Problema de la parada, que se define asi: Dado un programa y su entrada, decidir si ese programa terminará para esa entrada o si correrá indefinidamente. Turing demostró que se trata de un problema indecidible.
- Un número computable es un número real que puede ser aproximado por un algoritmo con un nivel de exactitud arbitrario. Turing demostró que casi todos los números no son computables. Por ejemplo, el número de Chaitin no es computable aunque sí que está bien definido.
¿Que otros formalismos equivalen a las máquinas de Turing?
Los lenguajes formales que son aceptados por una máquina de Turing son exactamente aquellos que pueden ser generados por una gramática formal. El cálculo Lambda es una forma de definir funciones. Las funciones que pueden se computadas con el cálculo Lambda son exactamente aquellas que pueden ser computadas con una máquina de Turing. Estos tres formalismos, las máquinas de Turing, los lenguajes formales y el cálculo Lambda son formalismos muy disímiles y fueron desarrollados por diferentes personas. Sin embargo, ellos son todos equivalentes y tienen el mismo poder de expresión. Generalmente se toma esta notable coincidencia como evidencia de que la tesis de Church-Turing es cierta, que la afirmación de que la noción intuitiva de algoritmo o procedimiento efectivo de cómputo corresponde a la noción de cómputo en una máquina de Turing.
Los computadores electrónicos, basados en la arquitectura Von Neumann así como las máquinas cuánticas tendrían exactamente el mismo poder de expresión que el de una máquina de Turing si dispusieran de recursos ilimitados de tiempo y espacio. Como consecuencia, los lenguajes de programación tienen a lo sumo el mismo poder de expresión que el de los programas para una máquina de Turing y en la práctica no todos lo alcanzan. Los lenguajes con poder de expresión equivalente al de una máquina de Turing se denominan Turing completos.
Entre los formalismos equivalentes a una máquina de Turing están:
- Máquinas de Turing con varias cintas
- Máquinas de Turing con cintas bidimensionales (o una infinidad de cintas lineales)
- Máquinas de Turing con núumero limitado de estados y símbolos para la cinta
- Máquinas de Turing con solo dos estados
- Autómatas finitos con dos pilas
- Autómatas finitos con dos contadores
- Gramáticas formales
- Sistemas de correspondencia de Post
- Cálculo Lambda
- Funciones recursivas parciales
- Casi todos los lenguajes de programación modernos si dispusieran de memoria ilimitada
- Autómatas celulares
- El Juego de la vida de John Conway
- Máquinas de Turing no determinísticas
- Máquinas de Turing probabilísticas
- Computador cuántico
Los últimos tres ejemplos utilizan una definición ligeramente diferente de aceptación de un lenguaje. Ellas aceptan una palabra si cualquiera, cómputo acepta (en el caso de no determinismo), o la mayoría de los cómputos aceptan (para las versiones probabilística y cuántica). Con estas definiciones, estas máquinas tienen el mismo poder de expresión que una máquina de Turing.
¿Que problemas requieren máquinas más poderosas?
Se considera que algunas máquinas tienen mayor poder que las máquinas de Turing. Por ejemplo, una máquina oráculo que utiliza una caja negra que puede calcular una función particular que no es calculable con una máquina de Turing. La fuerza de cómputo de una máquine oráculo viene descrita por su grado de Turing. La teoría de cómputos reales estudia máquinas con precisión absoluta en los números reales. Dentro de esta teoría, es posible demostrar afirmaciones interesentes, tales como «el complemento de un conjunto de Mandelbrot es solo parcialmente decidible».