Teoría de grupos
Keywords: Teoría de grupos, Asociatividad, Cero, Conjunto, Elemento inverso, Elemento neutro, Grupo abeliano, Grupo matemático, Grupos topológicos
La teoría de grupos estudia las propiedades de los grupos, y uno de sus objetivos fundamentales es la clasificación de éstos.
Un grupo es un magma (i.e. un par (G,*), donde G es un conjunto no vacío y * una ley de composición interna, esto es 
), verificando:
- a * (b * c) = (a * b) * c para cualesquiera a,b,c de G (asociatividad)
- En A existe un elemento denotado por 1 que cumple 1 * a = a * 1 = a (elemento neutro)
- Para todo a de A existe a − 1 tal que a * a − 1 = a − 1 * a = 1 (elemento inverso)
En otras palabras, un grupo es un conjunto con una operación binaria asociativa, cerrada, que posee inversos y elemento neutro.
Un grupo donde se verifique a * b = b * a para cualquier par de elementos a,b en G se dice abeliano o conmutativo.
Ejemplos:
- (R,+) es grupo abeliano. R es el conjunto de los números reales y + la suma usual.
- (R-{0},·) es grupo abeliano. (Notar que el cero no tiene inverso multiplicativo, por eso se lo excluye).
- (Zn,+) es grupo.
Un grupo es finito o infinito si el conjunto es finito o infinito. En nuestro ejemplo, los formados con R son infinitos y el formado con Zn es finito.