Teoría de conjuntos
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La teoría de conjuntos es la rama de las matemáticas que estudia los conjuntos. El primer estudio formal sobre el tema fue realizado por el matemático alemán Georg Cantor en el Siglo XIX.
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Definición de conjunto
Intuitivamente, un conjunto es una agrupación, clase o colección de objetos, a los que se llama elementos del conjunto. Así, cuando un elemento a pertenece al conjunto S, se dice que el conjunto S contiene al elemento a, utilizándose la notación a ∈ S.
El concepto de conjunto es fundamental en matemáticas pues se encuentra, implícita o explícitamente, en todas las ramas de las matemáticas puras y aplicadas. En su forma explícita, los principios y la terminología de los conjuntos se utilizan para construir proposiciones matemáticas más claras y precisas y para explicar conceptos abstractos tales como el concepto de infinito.
Un conjunto S está definido si, dado un objeto cualquiera a, se sabe con seguridad si pertenece o no al conjunto.
La paradoja de Russell
Esta definición es problemática desde el punto de vista formal ya que, al definir un conjunto por una propiedad, se llega a la paradoja de Russell definiendo A:={x| x no pertenece a A} (se lee A está formado por todos los elementos x tales que x no pertenece a A).
Vemos que, si x pertenece a A, se debe cumplir que x no pertenezca a A: una propiedad y su negación se deben cumplir al mismo tiempo. Esto llevó a considerar desarrollos axiomáticos como los de Zermelo-Frankel y von Neumann que evitan esta paradoja o contradicción de la teoría.
Supongamos que hay dos tipos de conjuntos: normales, los que no se contienen a sí mismo como elemento; y anormales, los que se contienen a si mismos como elemento. Para existir, un conjunto A tendría que ser de uno solo de los dos tipos.
Pensemos ahora en el conjunto V cuyos elementos son todos los conjuntos normales: ¿el conjunto V es normal o anormal? Si V fuese normal se contendría a sí mismo como elemento, ya que V está formado por todos los conjuntos normales. Pero, al contenerse a sí mismo como elemento, sería anormal.
La contradicción es debida al hecho de suponer que la proposición "X es un conjunto y no es elemento de sí mismo" determina un conjunto. Se piensa entonces en dos tipos de colecciones:
- Clases
- Aquellas colecciones de objetos especificadas por una proposición.
- Conjuntos
- Aquellas clases que sean elementos de otra clase.
Hay una distinción entre conjuntos y clases, en donde las clases que no sean conjuntos no pueden ser elementos de otras clases. Aparece la teoría axiomática de conjuntos buscando dos fines: garantizar la existencia de un conjunto y asegurar las construcciones con conjuntos que den como resultado otros conjuntos.
A continuación se expone el desarrollo intuitivo, por ser el más natural para la mayoría de las personas.
Notación
Un conjunto se representa mediante llaves que contienen sus elementos, ya sea de forma explícita, escribiendo todos y cada uno de los elementos, o dando una fórmula, regla o proposición que los describa. Por ejemplo,
- S1 = {2, 4}
- S2 = {2, 4, 6, ..., 2n, ...} = {todos los enteros pares}
- S3 = {x | x2- 6x + 11 = 3}
- S4 = {todos los varones vivos llamados Juan}
La definición de S3 se lee 'el conjunto de todas las x tales que x2 - 6x + 11 = 3.
Subconjuntos y superconjuntos
Si todo elemento de un conjunto R pertenece también al conjunto S, se dice que R es un subconjunto de S y que S es un superconjunto de R. Se utiliza la notación R ⊆ S.
Todo conjunto es un subconjunto y un superconjunto de sí mismo.
Si R ⊆ S y al menos un elemento de S no pertenece a R, se dice que R es un subconjunto propio de S y que S es un superconjunto propio de R. Se utiliza la notación R ⊂ S.
Si R ⊆ S y S ⊆ R, es decir, todo elemento de un conjunto pertenece también al otro, entonces R y S son dos conjuntos iguales, lo que se escribe R = S. En los ejemplos del apartado anterior, S1 ⊂ S2.
Unión e intersección
Sean A y B son dos conjuntos.
Los elementos que pertenecen a A, a B o a ambos forman otro conjunto S, llamado unión de A y B, escrito A ∪ B.
Los elementos comunes a A y B forman un conjunto denominado intersección de A y B, escrito A ∩ B.
Si A y B no tienen ningún elemento común se denominan conjuntos disjuntos y se representa esta intersección como otro conjunto, denominado conjunto vacío o nulo, el cual se representa con el símbolo Ø.
Ejemplos: si tenemos los conjuntos
- A = {2, 4, 6}
- B = {4, 6, 8, 10}
- C = {10, 14, 16, 26}
Entonces:
- A ∪ B = {2, 4, 6, 8, 10}
- A ∪ C = {2, 4, 6, 10, 14, 16, 26}
- A ∩ B = {4, 6}
- A ∩ C = Ø
Diferencia y complementario
El conjunto de elementos que pertenecen a A pero no pertenecen a B se denomina conjunto diferencia entre A y B, escrito A - B (y a veces A\B).
Siguiendo con el ejemplo anterior, A - B = {2}, B - A = {8, 10}.
Si A es un subconjunto del conjunto B, el conjunto de los elementos que pertenecen a B pero no a A, es decir, B - A, se denomina conjunto complementario de A (con respecto a B), lo que se escribe B - A = A (que también puede aparecer como à o ~A).
Álgebra de conjuntos
Sean A, B, y C conjuntos cualesquiera, entonces:
- A ∩ A = A
- A ∪ A = A
- A - A = Ø
- A ∩ B = B ∩ A
- A ∪ B = B ∪ A
- (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
- (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
- C - (A ∩ B) = (C - A) ∪ (C - B)
- C - (A ∪ B) = (C - A) ∩ (C - B)
- C - (B - A) = (A ∩ C) ∪ (C - B)
- (B - A) ∩ C = (B ∩ C) - A = B ∩ (C - A)
- (B - A) ∪ C = (B ∪ C) - (A - C)
- A ⊆ B ↔ A ∩ B = A
- A ⊆ B ↔ A ∪ B = B
- A ⊆ B ↔ A - B = Ø
- A ∩ B = Ø ↔ B - A = B
- A ∩ B ⊆ A ⊆ A ∪ B
- A ∩ Ø = Ø
- A ∪ Ø = A
- Ø - A = Ø
- A - Ø = A
Sea U un conjunto tal que A, B, y C son subconjuntos de U (se utiliza la notación A' := U - A). Entonces:
- A'' = A
- B - A = A' ∩ B
- (B - A)' = A ∪ B'
- A ⊆ B ↔ B' ⊆ A'
- A ∩ U = A
- A ∪ U = U
- U - A = A'
- A - U = Ø
Distributividad entre unión e intersección
Sean tres conjuntos A, B y C. Se cumple que:
- A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
- A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
Éstas son las propiedades del álgebra de conjuntos, la cual es un caso particular del sistema algebraico conocido como Álgebra de Boole.
Producto cartesiano de conjuntos
Si A y B son dos conjuntos, el conjunto de todos los posibles pares ordenados de elementos de la forma (a, b), donde a ∈ A y b ∈ B, se denomina producto cartesiano de A y B, escrito normalmente como A × B.
Ejemplo: si A = {1, 2} y B = {x, y, z}, entonces
- A × B = {(1, x), (1, y), (1, z), (2, x), (2, y), (2, z)} y
- B × A = {(x, 1), (y, 1), (z, 1), (x, 2), (y, 2), (z, 2)}
En este caso, A × B ≠ B × A, pues al ser pares ordenados, el par (1, x) es distinto del par (x, 1).
Correspondencia o relaciones entre conjuntos
Dados dos conjuntos A y B, que pueden ser iguales o distintos, podemos podemos encontrar diversas formas de relacionar los elementos de A con los elementos de B.
Por ejemplo, los elementos del conjunto A = {1, 2, 3} se pueden relacionar o hacer corresponder mediante una correspondencia f con los elementos del conjunto B = {x, y, z} de modo que a todo elemento de A le corresponda uno, ninguno o varios elementos de B. Esto también se puede expresar así:
f(1) = {x, z}, f(2) = Ø , f(3) = {z}
También se puede decir que f = {(1, x), (1, z), (3, z)}.
Por tanto, una relación o correspondencia entre dos conjuntos A y B es un subconjunto del producto cartesiano A × B.
En general, una relación o correspondencia entre un conjunto A y otro B es cualquier subconjunto de A × B. Nótese que esto incluye el caso del conjunto vacío. Cuando todo elemento de A está relacionado con alguno de B se dice que ese subconjunto de A × B es una relación o correspondencia de A en B.
Cuando una correspondencia es tal que a cada elemento del primer conjunto le corresponde uno y solo uno del segundo conjunto, entonces se llama aplicación o función, también llamadas mapeos.