Teorema fundamental del cálculo integral

Keywords: Teorema fundamental del cálculo integral, Arquímedes, Constante, Continuidad (matemáticas), Derivada, Función, Función derivada, Función matemática, Gottfried Leibniz

El teorema fundamental del cálculo integral consiste en la afirmación de que la derivación e integración de una función son operaciones inversas. Esto significa que toda función continua integrable verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma. Este teorema es central en la rama de las matemáticas denominada cálculo. Una consecuencia directa de este teorema, denominada en ocasiones segundo teorema fundamental del cálculo, permite calcular la integral de una función utilizando la antiderivada de la función a ser integrada.

Aunque los antiguos matemáticos griegos como Arquímedes ya contaban con métodos aproximados para el cálculo de volúmenes, áreas y longitudes curvas fue gracias a una idea originalmente desarrollada por el matemático inglés Isaac Barrow y los aportes de Isaac Newton y Gottfried Leibniz que este teorema pudo ser enunciado y demostrado.

Tabla de contenidos

1 Los teoremas fundamentales del cálculo integral

1.1 Primer teorema fundamental

1.1.1 Declaración
1.1.2 Demostración
1.1.3 Ejemplos

1.2 Segundo teorema fundamental

1.2.1 Declaración
1.2.2 Demostración
1.2.3 Ejemplos

2 Ver también

3 Enlaces externos

Los teoremas fundamentales del cálculo integral

Primer teorema fundamental

Declaración

Dada una función $f$ continua y derivable en el intervalo $[a; b]$ , existe un número infinito de funciones primitivas $F(x) = \int f(x) dx$ (es decir, tales que $F'(x) = f (x)$ ), que varian por sólo una constante. Formalmente,
$\forall f(x) \in C^1 \quad \exists F(x)$ tal que $\forall C \in \mathbb{R}\quad\frac{d}{dx} F(x)+C = f(x)$

Demostración

thumbnail||left|f(x) y su integral

Hipótesis: f es una función continua en el intervalo [a;b]

Tesis: F'(x) = f(x)

Demostración:

$F'(x) = \frac {d} {dx} F(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac {F(x + \Delta x) - F(x)} {\Delta x}$ Por definición de derivada

$F'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac {\int_{a}^{x + \Delta x} f(t) dt - \int_{a}^{x} f(t) dt} {\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac {\int_{x}^{x + \Delta x} f(t) dt} {\Delta x}$

Dado c tal que

x < c < x + Δ x

(ver imagen)

$F'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac {(x + \Delta x - x) f(c)} {\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac {\Delta x f(c)} {\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} f(c) = f(x)$

Dado que f es continua en [a;b] queda demostrado que F'(x) = f(x)

Ejemplos

$F(x) = \int_{0}^{x} t^2 dt \Rightarrow F'(x) = x^2$

$H(x) = \int_{10}^{\exp{3x}} sen(t) dt \Rightarrow H'(x) = sen(e^{3x}) e^{3x} 3$

$G(x) = \int_{0}^{x^2} arcsen(t) dt \Rightarrow G'(x) = arcsen(x^2) 2x$

Segundo teorema fundamental

Declaración

También se le llama la Regla de Barrow, en honor a Isaac Barrow.

Dada una función $f$ continua en el intervalo $[a; b]$ y sea $F (x)$ cualquier función primitiva de $f$ , es decir $F' = f$ :
$\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$

Este teorema se usa muy frecuentemente para evaluar los integrales definidos.