Teorema del seno

Keywords: Teorema del seno, Identidades trigonométricas, Teorema del coseno

Tabla de contenidos

1 Enunciado

2 Demostración

3 Interpretación geométrica

4 Véase también

Enunciado

«Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos»:

$\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)}$

Demostración

Dada la figura:

Triángulo dividido por una altura en dos triángulos rectángulos

La altura h_c delimita dos triángulos rectángulos AHC y BHC.

$h_c = b\cdot\sin(A)$

$h_c = a\cdot\sin(B)$

De lo que sale que $b\cdot\sin(A)=a\cdot\sin(B)$ ,y por tanto, $\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)}$

Si hiciésemos un cálculo similar con la altura del vértice A resulta $\frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)}$ , por lo que podemos afirmar que:

$\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)}$

Interpretación geométrica

La razón entre cada lado del triángulo y el seno del ángulo opuesto es constante y es igual al diámetro de la circunferencia circunscrita al triángulo.

Triángulo ABC, su circunferencia circunscrita y triángulo A'BC

Dado un triángulo ABC y su circunferencia circunscrita de radio R, trazando el diámetro CA' y uniendo A' con B tendremos un triángulo rectángulo (el ángulo B abarca una semicricunferencia) A'BC. A y A' abarcan el mismo arco BC, por lo que A' = A. Por la aplicación del teorema de los senos:

$\frac{a}{\sin(A')} = \frac{2R}{\sin(90)} = \frac{2R}{1}$

$\frac{a}{\sin(A')} = \frac{a}{\sin(A)} = 2R$