Teorema del grafo cerrado

Keywords: Teorema del grafo cerrado, Espacio de Banach, Grafo de una función, Teorema de la función abierta

Si X e Y son espacios de Banach, toda función f:X → Y lineal cuyo grafo sea un cerrado en el espacio topológico producto X×Y es continua.

Este teorema se demuestra usando el teorema de la función abierta, y es casi imprescindible para resolver ciertos problemas de análisis funcional que no se pueden resolver con técnicas menos avanzadas.

Tiene un corolario, que es el que se suele usar en la práctica:

• Sean X e Y espacios de Banach, y f:X → Y una función lineal. Supongamos que para toda sucesión (x_n) convergente en X existe lim f(x_n) y es igual a f(lim x_n). En estas condiciones, f es continua.

Keywords: Teorema del grafo cerrado, Espacio de Banach, Grafo de una función, Teorema de la función abierta