Teorema del coseno

Keywords: Teorema del coseno, Identidades trigonométricas, Teorema de Pitágoras, Teorema del seno

Enunciado

El teorema del coseno dice que «el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados menos el doble del producto de estos lados por el coseno del ángulo comprendido»:

a 2 = b 2 + c 2 - 2 b c * cos(A)

b 2 = a 2 + c 2 - 2 a c * cos(B)

c 2 = a 2 + b 2 - 2 a b * cos(C)

Demostración

1. Si el ángulo opuesto es agudo.

Considérese un triángulo como el siguiente:
Triángulo acutángulo para demostrar el teorema del coseno
Por el Teorema de Pitágoras:

$a 2 = h 2 + (c - m) 2$ [1]
$b 2 = h 2 + m 2$ , lo que implica que $h 2 = b 2 - m 2$ [2]

Reemplazando [2] en [1]:

$a 2 = b 2 - m 2 + (c - m) 2$

Desarrollando:

$a 2 = b 2 - m 2 + c 2 + m 2 - 2 c m$

Simplificando:

$a 2 = b 2 + c 2 - 2 c m$

Finalmente, sabiendo que $m = b * cos(A)$ , se deduce:

$a 2 = b 2 + c 2 - 2 b c * cos(A)$

2. Si el ángulo opuesto es obtuso.

Partiendo de otro punto de vista se resuelve análogamente al caso anterior:
Triángulo obtusángulo para la demostración del teorema del coseno
Por el Teorema de Pitágoras:

$a 2 = h 2 + (c + m) 2$
$b 2 = m 2 + h 2$ , por lo que $h 2 = b 2 - m 2$

Reemplazando, desarrollando y simplificando:

$a 2 = b 2 - m 2 + (c + m) 2$
$a 2 = b 2 - m 2 + c 2 + m 2 + 2 c m$
$a 2 = b 2 + c 2 + 2 c m$

Teniendo en cuenta que: $m = b * cos(180 - A)$ , por las identidades trigonométricas: : $m = - b * cos(A)$ Y llegamos a la misma conclusión que antes:
$a 2 = b 2 + c 2 - 2 b c * cos(A)$

Teorema del coseno

Keywords: Teorema del coseno, Identidades trigonométricas, Teorema de Pitágoras, Teorema del seno

Enunciado

Demostración

Véase también

Keywords: Teorema del coseno, Identidades trigonométricas, Teorema de Pitágoras, Teorema del seno