Teorema de Taylor

Keywords: Teorema de Taylor, 1712, Brook Taylor, Continuidad, Cálculo, Derivada, Espacio vectorial, Factorial, Función analítica

En cálculo, el Teorema de Taylor, recibe su nombre del matemático británico Brook Taylor, quien lo enunció en 1712. Este teorema permite aproximar una función derivable en el entorno reducido alrededor de un punto a: E (a, d) mediante un polinomio cuyos coeficientes dependen de las derivadas de la función en ese punto. En términos matemáticos: Si n≥0 es un entero y f una función que es derivable n veces en el intervalo cerrado [a, x] y n+1 en el intervalo abierto (a, x), entonces se cumple que:

$f(x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x - a) + \frac{f^{(2)}(a)}{2!}(x - a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n + R$

Donde, n! denota el factorial de n, y R es el resto, término que depende x y es pequeño si x está próximo al punto a. Existen dos expresiones para R que se mencionan a continuación:

$R = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} (x-a)^{n+1}$

donde ξ, a, x, n pertenecen a los reales

$R = \int_a^x \frac{f^{(n+1)} (t)}{n!} (x - t)^n \, dt$

Si R es expresado de la primera forma, se lo denomina Término complementario de Lagrange, dado que el teorema de Taylor se expone como una generalización del Teorema del Valor Medio del Cálculo Diferencial, mientras que la segunda expresión de R muestra al teorema como una generalización del Teorema fundamental del cálculo integral.

Para algunas funciones f(x), se puede probar que el resto, R, se aproxima a cero cuando n se acerca al ∞; dichas funciones pueden ser expresadas como series de Taylor en un entorno reducido alrededor de un punto a y son denominadas funciones analíticas.

El teorema de Taylor con R expresado de la segunda forma es también válido si la función f tiene números complejos o valores vectoriales. Además existe una variación del teorema de Taylor para funciones con múltiples variables.

Cálculo

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