Teorema de Pitágoras
Keywords: Teorema de Pitágoras, Cateto, Cuadrado, Geometría plana, Hipotenusa, Número natural, Pitágoras, Teorema de Tales, Terna pitagórica
El teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo la suma de los cuadrados de los catetos (los lados que forman el ángulo recto) es igual al cuadrado de la hipotenusa (el otro lado).
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Demostraciones
Primera demostración
Supongamos el triángulo de catetos a y b (formando un ángulo recto) y la hipotenusa c. Se trata de demostrar que el área del cuadrado de lado c es igual a la suma de las áreas de los cuadrados de lado a y lado b.
Si añadimos tres triángulos iguales al original alrededor del cuadrado de lado c formando la figura mostrada en la imagen, obtenemos un cuadrado. En efecto, si la figura central de lado c primeramente dibujada es un cuadrado, sus lados formarán ángulos rectos, entonces, si giramos el triángulo original 90º alrededor del centro del cuadrado, vendrá a ocupar un posición perpendicular a la original, de modo tal que el lado a será colineal al lado b y viceversa, formándose un cuadrado de lado a+b.
El área de éste cuadrado puede expresarse de dos maneras:
- El cuadrado del lado:
- A = (a+b)2 = a2 + 2·a·b + b2thumb|demostración geométrica de: (a+b)2 = a2 + 2·a·b + b2
- Suma del cuadrado original y los triángulos añadidos:
- A = c2 + 4·(a·b/2) = c2 + 2·a·b
Igualando ambas expresiones:
- a2 + 2·a·b + b2 = c2 + 2·a·b
y simplificando:
- a2 + b2 = c2 , como queríamos demostrar.
Segunda demostración
Esta prueba es la traducción, en lenguaje matemático actual, de la ideada por el mismísimo Pitágoras que empleó la figura siguiente:
Alrededor del triángulo ABC, se construyen tres cuadrados: el rojo, de área a2, el azul de área b2, y el bicolor verde y café, de área c2.
- Los triángulos rectángulos ABC y HBC son semejantes (o similares) pues comparten el mismo ángulo B. Por lo tanto tenemos la igualdad de los cocientes: BH / BC = BC / BA, es decir a'/a = a/c (hoy en día , se diría que su valor es el seno de B).
Por el producto cruzado: a2 = a'c, o sea que las áreas roja y café son iguales.
- De la misma manera, a partir de los triángulos ABC y HAC, se deduce que b'/b = b/c (sen A) y luego b2 = b'c, o sea que las áreas azul y verde son iguales.
Sumando las áreas roja y azul, obtenemos las áreas café y verde, es decir: a2 + b2 = a'c + b'c = (a' + b')c = c2
Esta prueba utiliza el teorema de Tales, un caso particular de los triángulos semejantes, teorema que sólo es válido en los espacios euclidianos (sin curvatura).
Otros conceptos relacionados
Las ternas pitagóricas son conjuntos de tres números enteros positivos que satisfacen el teorema de Pitágoras: la suma de los cuadrados de los dos primeros es igual al cuadrado del último. Ejemplos de ternas pitagóricas son
- {3, 4, 5}
- {5, 12, 13}
- {8, 15, 17}
El teorema de Pitágoras fue conocido por muchas culturas anteriores o, en cualquier caso, sin la influencia de Pitágoras.
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