Teorema de la función abierta

Keywords: Teorema de la función abierta, Análisis complejo, Análisis funcional, Conjunto abierto, Continuo, Espacio de Banach, Funciones abiertas y cerradas, Función holomorfa, Matemáticas

En matemáticas, hay dos teoremas con el nombre "Teorema de la función abierta".

En análisis funcional, el teorema de la función abierta, también conocido como el teorema de Banach-Schauder, es un resultado fundamental que establece: si A: X → Y es un operador lineal continuo sobreyectivo entre los espacios de Banach X y Y, entonces A es una función abierta (es decir si U es un conjunto abierto en X, entonces A(U) es abierto en Y).

La prueba utiliza el teorema de categoría de Baire.

El teorema de la función abierta tiene dos consecuencias importantes:

Si A: X → Y es un operador lineal continuo biyectivo entre los espacios de Banach X y Y, entonces el operador inverso A^-1: Y → X es continuo también (esto se llama el teorema de la función inversa).

Si A: X → Y es un operador lineal entre los espacios de Banach X y Y, y si para cada sucesión (x_n) en X con x_n → 0 y Ax_n → y se sigue que y = 0, entonces A es continuo (teorema del grafo cerrado).

En análisis complejo, el teorema de la función abierta establece que si U es un subconjunto abierto conexo del plano complejo C y f: U → C es una función holomorfa no-constante, entonces f es una función abierta (es decir envía subconjuntos abiertos de U a los subconjuntos abiertos de C).