Teoremas de incompletitud de Gödel
Keywords: Teoremas de incompletitud de Gödel, Análisis real, Aritmética, David Hilbert, Kurt Gödel, Lógica matemática, Matemática, Matemáticas, Sistema formal
En lógica matemática se conocen como teoremas de incompletitud de Gödel dos célebres teoremas demostrados por Kurt Gödel en 1930. Un tanto simplificado, el primer teorema de incompletitud de Gödel afirma que:
"En todo sistema formal consistente que contenga los números naturales con su aritmética es posible construir una sentencia de la cual no es posible probar ni su veracidad ni su falsedad dentro del sistema".
Este teorema es uno de los más famosos de las matemáticas y uno de los peor comprendidos. Es un teorema de la lógica matemática y, como tal, es frecuentemente malinterpretado. Existen muchas afirmaciones que parecen similares al primer teorema de incompletitud de Gödel que son falsas. Para conocer algunas, léase la entrada de la wikipedia Malentendidos en torno a los teoremas de Gödel.
El segundo teorema de incompletitud de Gödel afirma que: "Ningún sistema formal consistente permite demostrar su propia consistencia."
Este resultado resultó devastador para la aproximación filosófica conocida como "Programa de Hilbert para las matemáticas". David Hilbert propuso que la consistencia de sistemas más complicados, como el análisis real podía ser demostrada a partir de sistemas más simples. En último término, la consistencia de toda la matemática se reduciría a la simple aritmética. El segundo teorema de Gödel establece que la aritmética básica no permite demostrar su propia consistencia y, en consecuencia, no permite demostrar la consistencia de nada más fuerte.