Teorema de Euler
Keywords: Teorema de Euler, Coprimo, Función fi de Euler, Número primo, Pequeño teorema de Fermat, Teorema de Lagrange, Unidad de un anillo, Clase de congruencia
La expresión
- a ≡ b (mod n)
significa que a y b se encuentran en la misma "clase de congruencia" módulo n, esto es, que ambos dejan el mismo resto si los dividimos por n, o, equivalentemente, a − b es un múltiplo de n.
Ahora bien, un hecho importante sobre módulos de números primos es el pequeño teorema de Fermat: si p es un número primo y a es cualquier entero, entonces
- ap ≡ a (mod p)
Esto fue generalizado por Euler:
- Para todo entero positivo n y todo entero a relativamente primo a n, entonces: aφ(n) ≡ 1 (mod n), donde φ(n) denota función fi de Euler que cuenta el número de enteros entre 1 y n que sean coprimos con respecto a n.
Es necesario señalar que el teorema de Euler es una consecuencia del teorema de Lagrange, aplicado al caso del grupo de las unidades del anillo Z/nZ.