Tensor métrico

Keywords: Tensor métrico, Convención de la adición de Einstein, Cálculo, Delta de Kronecker, Distancia, Espacio vectorial, Geometría de Riemann, Matemáticas, Matriz

En matemáticas, en geometría de Riemann, el tensor métrico es un tensor de rango 2 que se utiliza para medir distancia y ángulo en un espacio.

Una vez que se elige una base local, el tensor métrico aparece como una matriz, notada convencionalmente G (véase también métrica). la notación gij se utiliza convencionalmente para los componentes del tensor métrico (es decir los elementos de la matriz.) (En lo siguiente, utilizamos la convención de la adición de Einstein)

La longitud de un segmento de una curva dada parametrizada por t, desde a hasta b, se define como:

L = \int_a^b \sqrt{ g_{ij}dx^idx^j}

el ángulo entre dos vectores tangentes U y V, se definen como:

\cos \theta = \frac{g_{ij}U^iV^j} {\sqrt{ \left| g_{ij}U^iU^j \right| \left| g_{ij}V^iV^j \right|}}

para computar el tensor métrico de un conjunto de ecuaciones que relacionan el espacio con espacio cartesiano (gij = ηij: vea delta de Kronecker para más detalles), compute jacobiano del conjunto de ecuaciones, y multiplique (producto exterior) transpuesto de ese jacobiano por el jacobiano.

G = J T J

Ejemplo

Dado un tensor métrico euclidiano de dos dimensiones:

G = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}

La longitud de una curva reduce a la fórmula familiar del cálculo:

L = \int_a^b \sqrt{ (dx^1)^2 + (dx^2)^2}

Algunas métricas euclidianas básicas

Coordenadas polares: (x1,x2) = (r,θ)

G = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & (x^1)^2\end{bmatrix}

Coordenadas cilindricas: (x1,x2,x3) = (r,θ,z)

G = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & (x^1)^2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}

Coordenadas esfericas: (x1,x2,x3) = (r,φ,θ)

G = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & (x^1)^2 & 0 \\ 0 & 0 & (x^1\sin x^2)^2\end{bmatrix}


Categoría:Geometría de Riemann

Keywords: Tensor métrico, Convención de la adición de Einstein, Cálculo, Delta de Kronecker, Distancia, Espacio vectorial, Geometría de Riemann, Matemáticas, Matriz