Supremo

Keywords: Supremo, Acotado, Conjunto, Conjunto parcialmente ordenado, Mayorante, Números irracionales, Números racionales, Números reales, Relación antisimétrica

Definición

Sea $Ω$ un conjunto no vacío entre cuyos elementos hay definida una relación de orden $\le$ ; sea $A\subset\Omega$ un subconjunto acotado superiormente y sea $C^{+}\subset\Omega$ el conjunto de las cotas superiores de $A$ . El supremo de $A$ es la menor de las cotas superiores (en otras palabras: $s\in C^{+}$ es supremo de $A$ si $s\le c$ para todo $c\in C^{+}$ ).

Si $A$ está acotado inferiormente y $C^{-}\subset\Omega$ es el conjunto de las cotas inferiores, se dice que $s\in C^{-}$ es ínfimo de $A$ si es la mayor de las cotas inferiores (en otras palabras: $s\in C^{-}$ es ínfimo de $A$ si $s\ge c$ para todo $c\in C^{-}$ ). Todo lo que vale para el supremo vale para el ínfimo si se invierte la relación de orden.

Propiedades

El supremo de un conjunto es siempre una cota superior del mismo, pero no tiene por qué pertenecer a él. Cuando lo hace, se denomina máximo (lo mismo para el ínfimo, y entonces se denomina mínimo).

Un conjunto acotado superiormente no tiene por qué tener supremo. Por ejemplo, si $\mathbb{Q}$ denota el conjunto de los números racionales, y definimos $A=\{x\in\mathbb{Q} : x^2<2\}$ , entonces $C=\{x\in\mathbb{Q} : x^2>2\}$ es el conjunto de todas sus cotas superiores. Pero no hay ningún elemento $s\in C$ que verifique la definición de supremo: elijamos el que elijamos, siempre habrá otro elemento de $C$ menor que él. (En este ejemplo, el supremo de $A$ es el número que denotamos $\sqrt{2},$ que no es racional, sino irracional. Es necesario ampliar el conjunto de los números racionales con los números irracionales dando lugar a $\mathbb{R}$ , el conjunto de los números reales, para que todo conjunto acotado superiormente tenga un supremo.)

Si existe el supremo de un conjunto, éste es único. En efecto, si $s 1$ y $s 2$ son ambos supremos de $A$ , entonces, por la definición, $s_1\le s_2$ y también $s_2\le s_1$ , con lo que $s 1 = s 2$ , por la propiedad antisimétrica de la relación de orden.

Keywords: Supremo, Acotado, Conjunto, Conjunto parcialmente ordenado, Mayorante, Números irracionales, Números racionales, Números reales, Relación antisimétrica