Super álgebra de Lie

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En matemáticas, una super álgebra de Lie es una suerte de generalización de un álgebra de Lie. Las super álgebras de Lie son importantes en física teórica en donde se utilizan para describir las matemáticas de la supersimetría. En estas teorías, los elementos pares de la super álgebra corresponden a los bosones y los elementos impares a los fermiones. Una super álgebra de Lie es un álgebra sobre un cuerpo de característica 0 Z₂-graduada cuyo producto [ ·, · ], llamado el super corchete de Lie o el super conmutador, satisface

• [x,y] = − ( − 1) ^{| x | | y |} [y,x]
• ( − 1) ^{| z | | x |} [x,[y,z]] + ( − 1) ^{| x | | y |} [y,[z,x]] + ( − 1) ^{| y | | z |} [z,[x,y]] = 0

donde x, y, y z son puros en la Z₂-graduación. Aquí |x| denota el grado de x (0 o 1).

Las super álgebras de Lie son una generalización natural de las álgebras de Lie normales para incluir una Z₂-graduación. De hecho, las condiciones antedichas en el super corchete son exactamente aquellas en el corchete normal de Lie con las modificaciones hechas para la graduación. La última condición a veces se llama la super identidad de Jacobi.

Note que el subalgebra par de una super álgebra de Lie forma un álgebra de Lie (normal) puesto que todos los signos desaparecen, y el super corchete se reduce a un corchete normal de Lie.

Ver también: Supergrupo, Superespacio, grupo cuántico, álgebra de Grassmann, álgebra de Lie de aniones

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