Sucesión de Cauchy

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En análisis matemático, una sucesión de Cauchy es una sucesión tal que la distancia entre dos términos se va reduciendo a medida que se avanza. Se llaman así en honor al matemático francés Augustin Louis Cauchy. Su interés radica en que se puede verificar que una sucesión es de Cauchy sin conocer el punto de convergencia.

Formalmente, en un espacio métrico, una sucesión { $x k$ } se dice de Cauchy si para todo $\varepsilon>0$ existe un N en los naturales, tal que para todos $n, m > N$ se tiene que la distancia entre dos términos $d (x n, x m)$ es inferior a $\varepsilon$ .

Es fácil demostrar que toda sucesión convergente es de Cauchy, sin embargo no toda sucesión de Cauchy es convergente. Por ejemplo en (0,2) la sucesión 1/k es de Cauchy pero no es convergente pues su limite es cero y este no esta en el espacio donde definimos la sucesión. Cuando en un espacio toda sucesión de Cauchy converge se dice que el espacio es completo.

Al parecer de lo trivial del ejemplo anterior donde la sucesión de Cauchy no convergía, en espacios mas abstractos pero no por eso menos familiares, como los espacios de funciones, demostrar Completitud a veces no es tan trivial, una de las razones de esto es que la completitud no se preserva necesariamente con homeomorfismos como pasa con la conexidad y la compacidad.

Categoría:Análisis matemático