Subconjunto
Keywords: Subconjunto, Conjunto, Conjunto vacío, Demostración matemática, Demostración por contraposición, Navegador, Número impar, Número primo, Números naturales
Sean X e Y dos conjuntos tal que todo elemento de X es también elemento de Y, entonces decimos que:
- X es un subconjunto de Y;
- X ⊆ Y;
- Y es un superconjunto de X;
- Y ⊇ X.
Todo subconjunto Y es un subconjunto de sí mismo. Cualquier subconjunto de Y que no sea igual a Y se denomina propio. Si X es un subconjunto propio de Y, escribimos X ⊂ Y. De manera análoga si Y es un subconjunto propio de X, escribimos X ⊃ Y.
El conjunto vacío, denotado como {} o con el símbolo ∅, es un subconjunto de cualquier conjunto. Además el conjunto vacío es un siempre un subconjunto propio, excepto de sí mismo.
Diferentes notaciones
Se utilizan fundamentalmente dos sistemas de notación para subconjuntos. El sistema antiguo utiliza el símbolo "⊂" para referirse a cualquier subconjunto y "⊊" para referirse a los subconjuntos propios. El sistema moderno usa el símbolo "⊆" para indicar cualquier subconjunto y "⊂" para los subconjuntos propios. En esta enciclopedia preferiremos el sistema moderno, ya que sus símbolos pueden ser representados por mayor número de navegadores. Del manera análoga se puede aplicar lo mencionado a los superconjuntos.
Ejemplos
- El conjunto {1,2} es un subconjunto propio de {1,2,3}
- El conjunto de los números naturales es un subconjunto propio del conjunto de los números racionales.
- El conjunto {x: x es un número primo mayor que 2000} es un subconjunto propio de {x: x es un número impar mayor que 1000}
Algunos resultados
Proposición 1: Dados tres conjuntos A, B y C, si A es subconjunto de B y B es subconjunto de C, entonces A es subconjunto de C.
Proposición 2: Dos conjuntos A y B son iguales si y sólo si A es subconjunto de B y B es subconjunto de A.
Proposición 3: Para todo conjunto A, el conjunto vacío es un subconjunto de A.
Demostración: Dado cualquier conjunto A, queremos demostrar que {} es un subconjunto de A. Esto supone mostrar que todos los elementos de {} son elementos de A. Sin embargo, por definición, {} no tiene ningún elemento.
Para el matemático experimentado, la inferencia "{} no tiene elementos, así que todos los elementos de {} son elementos de A" es inmediata, pero puede ser más problemática para el principiante. Después de todo, como {} no tiene elementos, ¿cómo pueden "esos elementos" pertenecer a otro conjunto? Se puede razonar esto por contraposición. Para probar que {} no es un subconjunto de A, tendríamos que encontrar un elemento de {} que no esté en A. Como {} no tiene elementos, esto es imposible y por tanto {} es un subconjunto de A.