Sólido platónico
Keywords: Sólido platónico, Arista, Círculo máximo, Dodecaedro, Esfera, Euclides, Hexaedro, Icosaedro
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Definición
Los sólidos platónicos, cuerpos platónicos, cuerpos cósmicos, sólidos pitagóricos o poliedros de Platón (que todos estos nombres reciben) son cuerpos geométricos caracterizados por ser poliedros convexos cuyas caras son polígonos regulares iguales y en cuyos vértices se unen el mismo número de caras.
Existen cinco sólidos platónicos diferentes:
- El tetraedro, de cuatro caras triangulares;
- El hexaedro, o cubo, de seis caras cuadradas;
- El octaedro, de ocho caras triangulares;
- El dodecaedro, de doce caras pentagonales; y
- El icosaedro, de veinte caras triangulares.
Las particulares propiedades de estos poliedros son conocidas desde la antigüedad clásica, figurando ya una descripción detallada de los mismos en Los Elementos de Euclides. Se les llegaron a atribuir incluso propiedades mágicas o mitológicas; Timäus de Lokri, en el diálogo de Platón dice "El fuego está formado por tetraedros; el aire, con octaedros; el agua, de icosaedros; la tierra de cubos; y como aún es posible una quinta forma Dios ha utilizado ésta, el dodecaedro pentagonal, para que sirva de límite al mundo".
Propiedades
Regularidad
Tal y como se ha expresado para definir estos poliedros:
- Todas las caras de un sólido platónico son polígonos regulares iguales.
- En todos los vértices de un sólido platónico se unen el mismo número de caras y de aristas.
- Todas las aristas de un sólido platónico tienen la misma longitud.
- Todos los ángulos diedros que forman las caras de un sólido platónico entre sí son iguales.
Simetría
Los sólidos platónicos son fuertemente simétricos:
- Todos ellos gozan de perfecta simetría central respecto a un punto del espacio (centro de simetría) que equidista de sus caras, de sus vértices y de sus aristas.
- Todos ellos tienen además simetría axial respecto a una serie de ejes de simetría que pasan por el centro de simetría anterior.
- Todos ellos tienen también simetría especular respecto a una serie de planos de simetría (o planos principales), que los dividen en dos partes iguales.
Como consecuencia geométrica de lo anterior, se pueden trazar en todo sólido platónico tres esferas particulares, todas ellas centradas en el centro de simetría del poliedro:
- Una esfera inscrita, tangente a todas sus caras en su centro.
- Una segunda esfera tangente a todas las aristas en su centro.
- Una esfera circunscrita, que pase por todos los vértices del poliedro.
Proyectando los centros de las aristas de un poliedro platónico sobre su esfera circunscrita desde el centro de simetría del poliedro se obtiene una red esférica regular, compuesta por arcos iguales de círculo máximo, que constituyen polígonos esféricos regulares.
Conjugación
Si se traza un poliedro empleando como vértices los centros de las caras de un sólido platónico se obtiene otro sólido platónico, llamado conjugado del primero, con tantos vértices como caras tenía el sólido inicial, y el mismo número de aristas. El poliedro conjugado de un dodecaedro es un icosaedro, y viceversa; el de un hexaedro es un octaedro; y el poliedro conjugado de un tetraedro es otro tetraedro.
Esquema
El Teorema de poliedros de Euler fija que el número de caras de un poliedro platónico más su número de vértices es siempre igual a su número de aristas más dos, es decir:
| c + v = a + 2 |
Así, se tiene:
| Poliedro | Caras | Vértices | Aristas |
|---|---|---|---|
| Tetraedro | 4 | 4 | 6 |
| Hexaedro | 6 | 8 | 12 |
| Octaedro | 8 | 6 | 12 |
| Dodecaedro | 12 | 20 | 30 |
| Icosaedro | 20 | 12 | 30 |
Véase también: