Sistema formal
Keywords: Sistema formal, 1930, Algoritmo, Alonzo Church, Axioma, David Hilbert, Kurt Gödel, Matemática
Un sistema formal o un sistema axiomático es un artificio matemático compuesto de símbolos que se unen entre sí formando cadenas que a su vez pueden ser manipuladas según reglas para producir otras cadenas. De esta manera, el sistema formal es capaz de representar cierto aspecto de la realidad.
El objetivo de un sistema formal es señalar como válidas determinadas cadenas. Estas cadenas válidas se denominan teoremas. Para obtener los teoremas se emplean las reglas de producción que convierten una cadena en otra. Hay ciertos teoremas iniciales que no se obtienen de ninguna regla, éstos son los axiomas que se suponen válidos por definición y se convierten en el germen de produccion de teoremas.
El problema de la decisión
El problema de la decisión consiste en saber si una cadena cualquiera es un teorema. El algoritmo que proporciona una respuesta a la pregunta de si la cadena es o no un teorema se denomina procedimiento de decisión.
Propiedades de los sistemas formales
- Coherencia: El sistema formal es coherente si cada teorema al ser interpretado corresponde a una decisión verdadera.
- Completud: El sistema formal es completo si cada proposición verdadera puede ser representada mediante un teorema. Es incompleto si alguna verdad no puede expresarse.
- Decidibilidad: Un sistema formal es decidible si existe un algoritmo que diga en tiempo finito si una cadena cualquiera es un teorema o no lo es.
La matemática como sistema formal
La matemática fue considera por David Hilbert un sistema formal ya que toda la matemática puede ser interpretada a base de símbolos, axiomas y reglas de producción. Pero en 1930 Kurt Gödel demostró que la coherencia y la completud no podían ser ciertos a la vez en las matemáticas, o al menos en los números enteros. Es lo que se denomína el teorema de la incompletud de Gödel. Por otra parte Alonzo Church demostró que la matemática tampoco podía ser decidible, con lo que la idea de las matemáticas como sistema formal tal y como Hilbert pretendía resulto demolida.