Singulete
Keywords: Singulete, Cardinal, Conjunto, Espacio topológico, Estructura trivial, Función matemática, Grupo matemático, Matemáticas, Teoría de las categorías
En matemáticas, un singulete es un conjunto con un único elemento. Por ejemplo, el conjunto { 0 } es un singulete. Observe que un conjunto como, por ejemplo, { { 1, 2, 3 } } es también un singulete: el único elemento es un conjunto (que, sin embargo, no es un singulete). Un conjunto es un singulete si y solamente si su cardinal es uno. En la construcción -teorético-conjuntista de los números naturales, el número 1 es definido como el singulete { 0 }. En la teoría axiomática de conjuntos, la existencia de singuletes es una consecuencia del axioma del conjunto vacío y axioma de apareamiento: el primero da vacío, y el último, aplicado al apareamiento de { } y { }, produce el singulete {{}}. si A es un conjunto y S es cualquier singulete, existe exactamente una función de A a S, la función constante que envía cada elemento de A al elemento de S. Las estructuras construidas sobre singuletes sirven a menudo como los objetos terminales o finales o los objetos cero de varias categorías:
- La afirmación anterior muestra que cada singulete S es un objeto terminal en Set, la categoría de conjuntos y funciones. No hay otros conjuntos terminales en esa categoría.
- Cualquier singulete se puede presentar como espacio topológico en una única forma (todos los subconjuntos son abiertos, esto es, sólo vacío y singulete: lo mismo que el espacio vacío, discreto e indiscreto a la vez). Estos espacios topológicos sobre un singulete son objetos terminales en la categoría Top de los espacios topológicos y funciones continuas. No hay otro tipo de espacios terminales en esa categoría.
- Cualquier singulete se puede presentar como un grupo en una única forma (el único elemento como identidad). estos grupos sobre un singulete son los objetos cero en la categoría Grp de grupos y homomorfismos. No hay otros objetos cero en esa categoría.