Serie de Fourier

Keywords: Serie de Fourier, 1768, 1807, 1811, 1830, Análisis armónico, Armónico, Convolución, Función periódica

En matemáticas, una serie de Fourier, que es llamada así en honor de Joseph Fourier (1768-1830), es una representación de una función periódica como una suma de funciones periódicas de la forma

$x\mapsto e^{inx},$

que son armónicos de e^{i x}; Fourier fue el primero que estudió tales series sistemáticamente, aplicándolas a la solución de la ecuación del calor y publicando sus resultados iniciales en 1807 y 1811. Este área de investigación se llama algunas veces Análisis armónico.

Muchas tipos de otras transformadas relacionadas con la de Fourier han sido definidas desde entonces.

Tabla de contenidos

1 Definición de serie de Fourier

2 Convergencia de series de Fourier

3 Algunas consecuencias positivas de las propiedades de homomorfismo de exp

4 Formulación general

5 Ver también

Definición de serie de Fourier

Supón que f(x) es una función complejo valuada sobre los números reales que es periódica con perído 2π, y que es cuadrado-integrable sobre el intervalo 0 a 2π. Sea

$\hat{f}(n)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\,e^{-inx}\,dx.$

Entonces la representación en serie de Fourier de f(x) viene dada por:

$f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} \hat{f}(n)\,e^{inx}.$

Debido a que

e i n x = cos(n x) + i sin(n x)

(identidad de Euler)

Esto es equivalente a representar f(x) como una combinación lineal infinita de funciones de la forma cos(nx) y sin(nx); es decir:

$f(x) = \frac{1}{2}a_0 + \sum_{n=1}^\infty\left[a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\right], \quad{\rm donde}$

$a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos(nx)\,dx\quad{\rm y} \quad{\rm }b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin(nx)\,dx$

Convergencia de series de Fourier

Mientras que esos coeficientes a_n y b_n pueden ser definidos formalmente para cualquier función para la cual las integrales tengan sentido, el que las series que quedan así definidas converjan realmente a f(x) depende de las propiedades de f.

Una respuesta parcial es que si f es cuadrado-integrable entonces

$\lim_{N\rightarrow\infty}\int_{-\pi}^\pi\left|f(x)-\sum_{n=-N}^{N} \hat{f}(n)\,e^{inx}\right|^2\,dx=0$

(o sea, convergencia en norma en el espacio NaodW29-math11d7578b7d51bc8500000008).

Esto se demostró en el siglo XIX, así como el hecho de que si f es continua a trozos entonces la serie converge en cada punto de continuidad. Quizás sorprendentemente, no se demostró hasta los años 1960 que si f es cuadráticamente integrable entonces la serie converge para cada valor de x excepto aquellos en algún conjunto de medida cero.

Algunas consecuencias positivas de las propiedades de homomorfismo de exp

Debido a que las "funciones base" e^ikx son homomorfismos de la línea real (más concretamente, del "grupo del círculo") tenemos ciertas identidades útiles:

Si $g (x) = f (x - y)$ entonces $\hat g(k)=e^{-iky}\hat f(k)$
La transformada de Fourier es un morfismo: $(f*g) \hat{ } (k)=\hat f(k) \hat g(k)$ -- esto es, la transformada de Fourier de una convolución es el producto de las transformadas de Fourier.

Formulación general

Las útiles propiedades de las series de Fourier son debidas principalmente a la ortogonalidad y a la propiedad de homomorfismo de las funciones e^{i n x}.

Otras sucesiones de funciones ortogonales tienen propiedades similares, aunque algunas identidades útiles, concerniendo por ejemplo a las convoluciones, no seguirán cumpliéndose si se pierde la "propiedad de homomorfismo".

Algunos ejemplos son las secuencias de funciones de Bessel y los polinomios ortogonales. Tales sucesiones se obtienen normalmente como soluciones de una ecuación diferencial; una gran clase de tales sucesiones útiles son soluciones de los llamados problemas de Sturm-Liouville.