Rotor

Keywords: Rotor, Coordenadas cartesianas, Cálculo vectorial, Derivada exterior, Determinante, Divergencia, Ecuaciones de Maxwell, Espacio dual, Gradiente

En el cálculo vectorial, el rotor es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a rotar alrededor de un punto.

Un campo vectorial que tiene rotor cero por todas partes se llama irrotational.

En matemáticas el rotor se nota:

$\nabla \times F$

donde ∇ es el operador vectorial diferencial nabla, y F es el campo vectorial al que el rotor se está aplicando.

Expandido en coordenadas cartesianas, $\nabla \times F$ , para F dada por [F_x, F_y, F_z]:

$\begin{pmatrix} {\partial F_z / \partial y} - {\partial F_y / \partial z} \\ \\ {\partial F_x / \partial z} - {\partial F_z / \partial x}\\ \\ {\partial F_y / \partial x} - {\partial F_x / \partial y} \end{pmatrix}$

Un modo simple de recordar la forma ampliada del rotor es pensar en ella como:

$\begin{pmatrix} {\partial / \partial x} \\ \\ {\partial / \partial y} \\ \\ {\partial / \partial z} \end{pmatrix} \times F$

o como el determinante de la matriz siguiente:

$\begin{pmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \\ {\partial / \partial x} & {\partial / \partial y} & {\partial / \partial z} \\ \\ F_x & F_y & F_z \end{pmatrix}$

donde i, j, y k son los vectores unidad para los ejes de x, de y, y de z, respectivamente.

En la notación de Einstein, con el símbolo de Levi-Civita se escribe como:

$(\nabla \times F)_k = \epsilon_{klm} \partial_l F_m$

Usando la derivada exterior, se escribe simplemente como:

$dF\,$

Obsérvese que tomando la derivada exterior de un campo (co)vectorial no da lugar a otro campo vectorial, sino a una 2-forma o un campo de bivector, escrito correctamente como $P\,(dx \wedge dy) + Q\,(dy \wedge dz) + R\,(dx \wedge dz)$ . Sin embargo, puesto que los bivectores generalmente se consideran menos intuitivos que los vectores ordinarios, el R³-dual se utiliza comúnmente en lugar de otro: esto es una operación quiral, produciendo un pseudovector que adquiere valores opuestos en conjuntos coordenados izquierdos y derechos.

Ejemplos

En un tornado los vientos están rotando sobre el ojo, y un campo vectorial que muestra las velocidades del viento tendría un rotor diferente de cero en el ojo, y posiblemente en otras partes (véase vorticidad).

En un campo vectorial que describa las velocidades lineales de cada parte individual de un disco que rota, el rotor tendrá un valor constante en todas las partes del disco.

Si una autopista fuera descrita con un campo vectorial, y los carriles tuvieran diversos límites de velocidad, el rotor en las fronteras entre los carriles sería diferente de cero.

La ley de Faraday de la inducción, una de las ecuaciones de Maxwell, se puede expresar muy simplemente usando el rotor. Indica que el rotor de un campo eléctrico es igual al negativo de la tasa de variación de la densidad del flujo magnético.

Ver también

Gradiente

Divergencia

Nabla en coordenadas cilíndricas y esféricas

Categoría:Cálculo

Keywords: Rotor, Coordenadas cartesianas, Cálculo vectorial, Derivada exterior, Determinante, Divergencia, Ecuaciones de Maxwell, Espacio dual, Gradiente