Relación de equivalencia
Keywords: Relación de equivalencia, Aritmética modular, Clase de equivalencia, Conjunto, Conjunto cociente, Función matemática, Igualdad matemática, Múltiplo, Números enteros
Una relación de equivalencia sobre K es una relación binaria ~ que cumple las siguientes propiedades:
- Es reflexiva: ∀a ∈ K, a ~ a.
- Es simétrica: a ~ b ⇒ b ~ a.
- Es transitiva: a ~ b, b ~ c ⇒ a ~ c.
Las relaciones de equivalencia definen subconjuntos de K denominados clases de equivalencia. Llamaremos orden al número de clases que genera una relación de equivalencia; si éste es finito, diremos que la relación es de orden finito. Asimismo, el conjunto de todas las clases de equivalencia se denomina conjunto cociente.
Ejemplos
- La igualdad es la relación de equivalencia básica.
- Para toda función f tenemos x ~f y si y sólo si f(x) = f(y).
- Toda relación de equivalencia proviene del caso anterior usando, por ejemplo, la función de pase al cociente [x] = [y].
- Un ejemplo de relación de equivalencia es la relación de congruencia módulo M en el conjunto de los números enteros. Entonces, sea a ~ b si y sólo si b - a es múltiplo de M. Esta relación es de equivalencia porque:
- Es reflexiva: a - a = 0, que es múltiplo de M.
- Es simétrica: si a - b es múltiplo de M, entonces b - a = -(a - b) también es múltiplo de M.
- Es transitiva: sean k y l números enteros tales que a - b = M k y b - c = M l. Entonces, a - c = (a - b) + (b - c) = M k + M l = M(k + l) y por tanto un múltiplo de M.
- En particular, si M = 2 tenemos la tradicional clasificación en pares e impares.
- Si M = 12 tenemos la, así llamada, aritmética del reloj.