Relación binaria
Keywords: Relación binaria, Conjunto, Correspondencia matemática, Divisibilidad, Números enteros, Producto cartesiano, Relación antisimétrica, Relación de equivalencia
Sea A un conjunto cualquiera; se dice que R es una relación binaria en A si R ⊆ A×A, es decir, si R es un subconjunto del producto cartesiano citado. Como se puede observar, una relación binaria es un caso particular de correspondencia.
Ejemplo:
La divisibilidad podemos considerarla como una relación binaria:
- R = {(x,y) ∈ ℤ×ℤ: x divide a y}.
En este caso, diríamos que dos números a y b pertenecientes a los enteros estarían relacionados por R si a divide a b, o dicho más precisamente: a∣b. Otro modo de definir esta relación (y cualquier otra) sería: aRb ↔ a∣b.
Propiedades
Las relaciones binarias pueden tener o no estas propiedades. R será:
- Reflexiva si xRx (x se relaciona consigo mismo) para todo x ∈ A.
- Simétrica si para todo x, y ∈ A tales que xRy se cumple que yRx.
- Antisimétrica si para todo x, y ∈ A tales que xRy e yRx se tiene que x = y.
- Transitiva si para todo x, y, z ∈ A tales que xRy e yRz, se cumple que xRz.
- Circular si para todo x, y, z ∈ A tales que xRy e yRz, se cumple que zRx.
Clasificación
Según las propiedades mostradas anteriormente, las relaciones se pueden clasificar en:
- Relaciones de equivalencia: toda relación binaria que sea reflexiva, simétrica y transitiva.
- Relaciones de orden: toda relación binaria que sea reflexiva, antisimétrica y transitiva.
Véase también: