Recta de Euler
Keywords: Recta de Euler, Altura de un triángulo, Baricentro, Circuncentro, Homotecia, Leonhard Euler, Mediatriz, Ortocentro, Triángulo
La recta de Euler es una recta que pasa por el ortocentro, el circuncentro y el baricentro de un triángulo.
Teorema
Sea ABC un triángulo, G su baricentro, O su circuncentro, y H su ortocentro.
Entonces estos tres puntos están alineados.
La recta que los contiene se llama recta de Euler (en rojo en la figura).
Prueba
Se construye al rededor de ABC un triángulo A'B'C' tal que A, B y C sean los centros de [B'C'], [A'C'] y [A'B'] respectivamente, y que los catetos sean dos por dos paralelos: (A'B') // (AB) ...
No es difícil ver que estos dos triángulos comparten las mismas medianes y por lo tanto el mismo baricentro. Además las alturas de ABC son las mediatrices de A'B'C', por consiguiente H es el circuncentro de A'B'C'. Sea h la homotecia de centro G y de razón -2. Entonces h(A) = A', h(b) = B' y h(C) = C', como propiedad del baricentro del triángulo (G está situado en las medianas a dos tercios del camino a partir de los vértices).
Las homotecias conservan entre otras cosas la equidistancia; en consecuencia conservan también las mediatrices y el circuncentro, en el sentido que la imagen del circuncentro de ABC es el circuncentro de la imagen del triángulo ABC, aquí de A'B'C'; o sea h(O) = H, por lo tanto tenemos la igualdad de vectores: GH = -2GO lo que implica que O , G y H son alineados.