Radical de un ideal

Keywords: Radical de un ideal, Anillo, Anillo (matemáticas), Divisor de cero, Ideal primo, Matemáticas, Radical, Teorema del binomio

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En teoría de anillos, una rama de las matemáticas, el radical de un anillo nos muestra ciertas propiedades malas del anillo. Hay diferentes tipos de radicales, como el nilradical o el radical de Jacobson, así como una teoría de propiedades generales radicales.

Nilradicales

Sea R un Anillo conmutativo. Primero mostraremos que los elementos nilpotentes de R forman un ideal N. Sean a y b elementos nilpotentes de R con aⁿ = 0 y b^m = 0. Probamos que a+b es nilpotente. Podemos usar el Teorema del binomio para expandir (a+b)^n+m-1:

$(a+b)^{n+m-1}=\sum_{i=0}^{n+m-1}{n+m-1\choose i}a^ib^{n+m-1-i}$

Para cada i, se da una y sólo una de las siguientes condiciones:

i≥n
n+m-1-i≥m

Esto dice que en cada expresión aⁱb^n+m-1-i, o bien el exponente de a será lo suficientemente grande como para anular la expresión, o bien el exponente de b será lo suficientemente grande como para anular la expresión. Así tenemos que a+b es nilpotente, y por tanto está en N.

Para terminar de comprobar que N es un ideal, cogemos un elemento arbitrario r∈R. (ra)ⁿ = rⁿaⁿ = 0, así que ra es nilpotente, and está por tanto en N. Con lo que N es un ideal.

N se define entonces como el nilradical de R, y se escribe como Rad(R) o √R.

Es útil definir el nilradical de un ideal I en R. Para hacerlo sea Rad(I) la preimagen de el Rad(R/I) bajo la aplicación proyección R→R/I. Rad(I), también denotado con √I, es el nilradical de I. Bajo esta definición, el nilradical de R es justo el nilradical del ideal de cero (0).

Es equivalente definir el nilradical de I como

No se pudo entender (La conversión a PNG ha sido errónea): \hbox{Rad}(I)=\{r\in R|r^n\in I\ \hbox{para algún}\ n\}

Para ver esto, notar primero que si r es un Rad(I), entonces para algún n, rⁿ es cero en R/I, y por tanto rⁿ está en I. Segundo, si rⁿ está en I para algún n, entonces la imagen de rⁿ en R/I es cero, y por tanto rⁿ está en Rad(I).

El nilradical es el radical más común en Álgebra conmutativa, y allí se le suele llamar simplemente radical. Un ideal que es igual a su radical se dice ideal radical y se dice radical.

Si P es un Ideal primo, entonces R/P es un dominio integral, esto es, no tiene divisores de cero, y en particular no puede tener nilpotentes. Por tanto todo ideal primo es radical.

Mediante el uso de la localización, podemos ver que Rad(I) es la intersección de todos los ideales primos de R que contienen a I: cada ideal primo es radical, así que la intersección J de los ideales primos que contienen a I contienen a Rad(I). Si r es un elemento de R que no está en Rad(I), entonces sea S el conjunto {rⁿ|n entero no negativo}. S es multiplicativamente cerrado, así que podremos formar la localización S^-1R

Categoría:Teoría de anillos