Progresión aritmética
Keywords: Progresión aritmética, Carl Friedrich Gauss, Constante, Matemáticas, Número, Número natural, Número ordinal, Número triangular, Progresión geométrica
En matemáticas, una progresión aritmética es una sucesión de números tales que la diferencia de dos términos sucesivos cualesquiera de la secuencia es una constante. Por ejemplo, la sucesión 3, 5, 7, 9, 11,... es una progresión aritmética de constante (o diferencia común) 2.
Si el término inicial de una progresión aritmética es a y la diferencia común es d, entonces el término n-ésimo de la sucesión viene dada por
- a + nd, n = 0, 1, 2, ... si el término inicial se toma como el cero.
- a + (n - 1)d n = 1, 2, 3, ... si el término inicial se toma como el 1º.
La primera opción ofrece una fórmula más sencilla, pero emplea una terminología más confusa, ya que no es común en el lenguaje el uso de "cero" como ordinal.
La suma de los términos en un segmento inicial de una sucesión aritmética se conoce a veces como serie aritmética. Existe una fórmula para las series aritméticas. La suma S de los n primeros valores de una sucesión finita viene dada por la fórmula:
- S = ½n(a1 + an)
donde a1 es el primer término y an el último.
Por ejemplo, para hallar la suma de los n primeros enteros positivos:
lo que también se conoce como número triangular.
Una historia muy conocida es la del descubrimiento de esta fórmula por Gauss cuando su profesor de tercero de primaria pidió a sus alumnos hallar la suma de los 100 primeros números y calculó el resultado de inmediato: 5050.
Esto se puede explicar más detalladamente:
- S = 1 + 2 + 3 + ... + (n-2) + (n-1) + n
- S = n + (n-1) + (n-2) + ... + 3 + 2 + 1 (por la propiedad conmutativa de la suma, se pueden expresar los sumandos en este orden)
- 2S = (n+1) + (n+1) + (n+1) + ... + (n+1) + (n+1) + (n+1) (hay n sumandos)
- 2S = n(n+1)
- S = n(n+1)/2
En el caso del problema de Gauss, n vale 100 y S = 100·101/2 = 5050.