Producto escalar

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En matemáticas el producto escalar (también conocido como producto interno o producto punto) es una función definida sobre un espacio vectorial cuyo resultado es una magnitud escalar. En un espacio vectorial real el producto escalar puede definirse como el producto de los modulos de los vectores que intervienen por el coseno del ángulo que forman.

Definición general álgebraica

Producto escalar es el nombre que se le da comunmente a una operación algebraica sobre espacios vectoriales más general denominada producto interior. La existencia de un producto interior definido distingue un espacio vectorial de un espacio prehilbertiano. El nombre espacio escalar se utiliza para denominar un espacio vectorial real sobre el que se ha definido una operación de producto interior que tiene como resultado un número real.

Definición simplificada para espacios euclideos reales

El producto escalar en el caso particular de dos vectores en el plano, o en un espacio euclídeo N-dimensional se define como el producto de sus módulos multiplicado por el coseno del ángulo $θ$ que forman. El resultado es siempre una magnitud escalar.

Se representa por un punto, para distinguirlo del producto vectorial que se representa por un aspa.

$\vec{A} \cdot \vec{B}=|\vec{A}| |\vec{B}| cos \theta$

El producto escalar, también puede calcularse a partir de las coordenadas cartesianas de ambos vectores, en una base ortogonal y unitaria (con vectores del mismo tamaño y que forman ángulos rectos entre si):

$\vec{A}\cdot\vec{B}=(a_1, a_2, a_3)\cdot(b_1,b_2,b_3)=a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3$

Propiedades del producto escalar en un espacio euclídeo real

Conmutativa: $\vec{A} \cdot \vec{B}=\vec{B} \cdot \vec{A}$

Asociativa: $m (\vec{A} \cdot \vec{B})= (m\vec{A}) \cdot \vec{B}=\vec{A}\cdot(m\vec{B})$

Distribuitiva: $\vec{A}\cdot(\vec{B}+\vec{C})=\vec{A}\cdot\vec{B}+\vec{A}\cdot\vec{C}$

Si los vectores son ortogonales, su producto escalar es nulo (cos 90º = 0).