Politopo regular

Keywords: Politopo regular, 1800, 1938, 1974, 400 adC, Atenas, Cuadrado, Círculo

En Matemáticas, un politopo regular es una figura geométrica con un alto grado de simetría. Ejemplos en dos dimensiones incluyen el cuadrado, el pentágono y el hexágono regular, etc. En tres dimensiones los politopos regulares incluyen los sólidos platónicos o sea, los poliedros regulares. Existen ejemplos también en dimensiones superiores. Los círculos y las esferas, aunque altamente simétricos, no son considerados politopos porque no tienen caras planas. La fuerte simetría de los politopos regulares les otorgan una cualidad estética que interesa tanto a matemáticos como a legos.

Muchos politopos regulares, al menos en dos y tres dimensiones, existen en la naturaleza y han sido conocidos desde la prehistoria. El más antiguo tratamiento matemático de ésos objetos viene a nosotros de los antiguos matemáticos griegos tales como Euclides. Verdaderamente, Euclides escribió un estudio sistemático de las matemáticas, publicándolo con el nombre de los Elementos de Euclides, en el cuál construyó una teoría lógica de la geometría y de la teoría de los números. Su trabajo concluyó con descripciones matemáticas de los cinco sólidos Platónicos.

La definición de los politopos regulares permaneció estática por muchos siglos después de Euclides. Después de todo, la historia del estudio de los politopos regulares han sido una donde la definición, fue ampliada, permitiendo más y más diferentes objetos a ser considerados entre su conjunto. Los cinco sólidos Platónicos fueron unidos, hacia la mitad del segundo milenio, por el poliedro de Kepler-Poinsot. Al final del siglo XIX, los matemáticos habían empezado a considerar politopos regulares en cuatro y más dimensiones, tal como el teseracto o hipercubo-- y el 24cell. El último es difícil de visualizar, pero aún retiene el placer estético simétrico de sus primos de menores dimensiones. Más difíciles aún de imaginar son los más modernos politopos regulares abstractos tal como el 57cell o el 11cell. Los matemáticos que estudian tales objetos insisten, sin embargo, que las cualidades estéticas de esos objetos permanecen.

Historia del descubrimiento

La historia del descubrimiento de los politopos regulares puede ser caracterizada por una gradual ampliación o apertura del entendimiento del término. Progresivamente, al término "politopo regular", le ha sido dado un significado más amplio, permitiendo que más objetos geométricos diferentes sean así etiquetados. Con tal apertura, nuevas figuras geométricas no son cubiertas — ésas nuevas figuras usualmente han sido completamente desconocidas a las anteriores generaciones.

Prehistoria

A los antiguos matemáticos griegos se les atribuye normalmente el descubrimiento de los poliedros regulares. Los primeros registros escritos de ésas formas vienen de autores griegos, quiénes también ofrecieron la primera descripción matemática de los mismos.

En el mar Mediterráneo hubo otra civilización, la Etrusca que parece haber precedido a los griegos en el conocimiento de almenos uno de esos poliedros regulares, como se evidenció tras el descubrimiento cercano a Padua (en el norte de Italia) a finales del 1800 de un dodecaedro hecho de que data de hace más de 2.500 años (Lindemann, 1987). Se puede argumentar, sin embargo, que la construcción de ésta forma fue inspirada por el piritoedro (mencionado más adelante en éste artículo), pues los minerales de pirita son relativamente abundantes en ésa parte del mundo.

Previamente aún a los Etruscos, se han encontrado, en Escocia piedras talladas con formas que muestran la simetría de los cinco sólidos platónicos. Esas piedras están datadas con unos 4,000 años de antigüedad. Muestran no sólo la forma de cada uno de los sólidos platónicos sino también las relaciones de dualidad entre ellos (esto es, que los centros de las caras del cubo dan lugar a los vértices de un octaedro, etc.) Ejemplos de esas piedras son mostrados en la página John Evans room del Ashmolean Museum en la Universidad de Oxford. Con todo, resulta imposible saber porqué se hicieron ésos objetos o en qué se inspiró el escultor.

No hay pruebas de que los Etruscos o los antiguos escoceses tuvieran algún entendimiento matemático de los sólidos regulares ni tampoco existe prueba alguna de que no los tuvieran. La raíz del descubrimiento humano de los politopos tridimensionales, particularmente de los más simples, es seguramente imposible de rastrear. En todo caso, es el tratamiento que los antigüos matemáticos griegos dieron a los sólidos platónicos lo que ha llegado hasta nosotros y ha inspirado nuestros modernos cálculos matemáticos sobre ellos.

Los Griegos

Algunos autores (Sanford, 1930) atribuyen a Pitágoras (550 adC) la carceterización de los sólidos platónicos, mientras que otros indican que solamente tuvo conocimiento del tetraedro, el cubo y el dodecaedro, perteneciendo el descubrimiento de los otros dos a Theaetetus (un ateniense), quién en cualquier caso ofreció una descripción matemática de los cinco (Van der Waerden, 1954), (Euclídes, libro XIII). H.S.M. Coxeter (Coxeter, 1948, sección 1.9) afirma que Platón (400 adC) habría hecho ya modelos de ellos, y menciona que uno de los primeros pitagoreanos usó los cinco sólidos dando una correspondencia entre los poliedros y la naturaleza del universo tal y como era percibido. Es de Platón de donde se deriva el término de sólidos Platónicos.

Poliedros estrella

Por casi 2000 años, el concepto de un politopo regular permaneció tal y como lo desarrollaron los antiguos matemáticos griegos. Se puede caracterizar la definición griega como sigue:

• Un polígono regular es una figura plana convexa cuyos lados y esquinas son iguales.
• Un poliedro regular es una figura sólida convexa cuyas caras son polígonos regulares iguales cuyos vértices se tocan con el mismo numero de polígonos.

Esta definición descarta, por ejemplo, a la pirámide cuadrada en la cual aunque todas las caras son regulares, la base cuadrada no es congruente a los lados triangulares, o en la figura formada al unir dos tetraedros por una de sus caras dónde aunque todas las caras son triángulos equiláteros regulares e iguales entre sí, algunos vértices unen tres triángulos y otros cuatro.

Finalmente, a principios del siglo XV, la siguiente generación de politopos regulares empezó a emerger. Los poliedros estrellados regulares son llamados sólidos de Kepler-Poinsot en honor a Johannes Kepler y Louis Poinsot. Estas figuras contienen polígonos regulares no-convexos, llamados pentagramas, formando caras que rodean los vértices. Los dos poliedros de Kepler fueron construidos por otros antes de él pero Kepler fue el primero en ver que se podían considerar como "regulares" si no se tenía en cuenta la restricción de que los politopos regulares han de ser convexos. Más tarde, Poinsot descubrió los dos que faltaban. Cayley les dio nombres ingleses que fueron aceptados. Los de Kepler se llamaron pequeño dodecaedro estrellado y gran dodecaedro estrellado, y los de Poinsot gran icosaedro y gran dodecaedro.

Los poliedros de Kepler-Poinsot se pueden construïr a partir de los sólidos platónicos mediante un proceso llamado estrellamiento. Muchas estrellaciones no son regulares. El estudio de las estrellaciones de los sólidos platónicos tomó fuerte impulso por gracias H.S.M. Coxeter y otros en 1938, con el ahora famoso artículo El icosaedro 59. Este trabajo ha sido recientemente republicado (Coxeter, 1999).

El proceso reciproco del estrellamiento es el careado?? (facetado). Cada estrellación de un politopo es dual, o recíproca, a algún facetado del politopo dual. Los poliedros regulares estrellados pueden también ser obtenidos al facetear los sólidos platónicos. N.J. Bridge (1974) clasificó los careados más simples del dodecaedro, y al buscar sus recíprocos descubrió una estrellación del icosaedro que no salía en el famoso artículo de El icosaedro 59. Más poliedros estrellados han sido descubiertas desde entonces, y la historia aún continúa.

Politopos de mayores dimensiones

No fue sino hasta el siglo 19 que un matemático Suizo?, --Ludwig Schläfli--, examinó y caracterizó los politopos regulares en dimensiones superiores?. Sus esfuerzos fueron primero publicados completos en (Schläfli, 1901), de manera póstuma seis años después?, aunque partes del mismo fueron publicados en --1855-- y --1858-- (Schläfli, 1855), (Schläfli, 1858). Interesantemente?, entre 1880 y 1900, los resultados de Schläfli fueron redescubiertos independientemente por al menos otros nueve matemáticos — ver (Coxeter, 1948, pp 143–144) para más detalles.

La última referencia es probablemente el tratamiento impreso más comprehensivo? de Schläfli y de los resultados similares a la fecha. Schläfli mostró que hay seis politopos regulares convexos en cuatro dimensiones, y exactamente tres en cada dimensión superior. Descripciones de estos pueden ser encontradas en la --Lista de politopos regulares--. También de interés son los politopos estrellados? de la cuarta dimensión?, no descubiertos por Schläfli. Estos también están descritos en la lista de politopos regulares.

Al inicio del siglo 20, la definición de un politopo regular fue como sigue:

*Un polígono regular es un polígono con todos los lados iguales y con todos los ángulos iguales.?
 *Un poliedro regular es un poliedro con todas las caras siendo polígonos regulares congruentes, y con todos los --vértices figurados-- congruentes y regulares.?
 *De la misma manera, un n-politopo regular es un politopo n-dimensional en el cual todas las caras (n− 1)-dimensionales son todas regulares y congruentes, y en el cual los vértices figurados son todos regulares y congruentes.?
 

La última? es una definición --"recursiva"--?. Define la regularidad de figuras de dimensiones superiores en términos de figuras regulares de una dimensión inferior. Hay una definición equivalente (no-recursiva), que establece que un politopo es regular si tiene un suficiente grado de simetría.

*Un n-politopo es regular si cualquier lista consistiendo de:
 

un vértice, un lado conteniéndolo, una cara bidimensional conteniéndolos, y así hasta n − 1 dimensiones pueden ser mapeado? a cualquier otro por una --simetría--? del politopo.

Así por ejemplo, el cubo es regular porque si escogemos un vértice del cubo, y uno de los tres lados adyacentes?, y una de las dos caras conteniendo el lado, entonces ésta tripleta (vértice, lado, cara) puede ser mapeada? a cualquier otra tripleta por una adecuada? simetría del cubo.

Politopos regulares abstractos

En el siglo XX, se realizaron algunos desarrollos importantes. Los --grupos-- de --simetría-- de los politopos regulares clásicos se generalizaron en lo que ahora se denominan --grupos de Coxeter--. Los grupos de Coxeter también incluyen los grupos de simetría de --disecciones?-- del espacio o del plano. Por ejemplo, el grupo de simetría de un infinito tablero de ajedrez sería un grupo de Coxeter.

En los años --1960s-- --Branko Grünbaum-- levantó? una llamada a la comunidad de geometría? a considerar más abstractos tipos de politopos regulares que el llamó --polistrómatas?--. El desarrolló la teoría de los polistrómatas, mostrando ejemplos de nuevos objetos que el denominó --aperóstopos? regulares--, esto es, politopos regulares con --infinitamente-- muchas caras. Un simple ejemplo de un aperósgono pudiera ser un zig-zag?. Parece satisfacer la definición de un politopo regular — todos los lados de la misma longitud, y todos los ángulos son los mismos. Más importante, posiblemente, hay simetrías del zig-zag que pueden mapear cualquier par de un vértice y un lado a cualquier otro.

Grünbaum también descubrió el --11-cell--, un bellísimo? poliedro cuatridimensional --autodual?-- objeto cuyas caras no son icosaedros, sino son hemi-icosaedors — esto es, tienen la forma que uno obtiene si considera las caras opuestas del icosaedro a ser actualmente las mismas caras (Grünbaum, 1977). El hemi-icosaedro tiene solamente 10 caras triangulares y 6 vértices, a diferencia del icosaedro, el cuál tiene 20 y 12.

Este concepto puede ser más fácil al lector to digerir? si uno considera la relación del cubo al hemicubo. Un cubo ordinario tiene 8 esquinas, que pudieran ser etiquetadas de la A a la H, con la cara A opuesta a la H, la B opuesta a la G, etc. En un hemicubo, A y H serían tratadas como la misma esquina. Así pudieran estar la B y G, etc. El lado AB vendría siendo el mismo lado con GH, y la cara ABEF vendría siendo la misma cara con CDGH. La nueva forma tiene sólo tres caras, 6 lados y 4 esquinas.

Unos pocos años después del descubrimiento de Grünbaum del --11-cell--, --H.S.M. Coxeter-- descubrió la misma forma de manera independiente. Él había descubierto un politopo similar, el --57-cell-- (Coxeter, 1982, 1984).

Desafortunadamente, el estudio de los polistrómatas cayó en el olvido?, cuando los matemáticos cmabiaron sus intereses por otros conceptos abstractos similares, incluyendo los conceptos de edificios y geometrías, politopos abstractos, poconjuntos de Euler y otros. El 11-cell y el 57-cell permanecen como importantes ejemplos de (en particular) los politopos abstractos regulares.

Un politopo regular abstracto es definido como un conjunto, que se supone representa un conjunto de vértices, lados y caras, etc. de un politopo, con la idea de cuáles de ésos "caen" en cuáles otros. Ciertas restricciones son impuestas a los conjuntos que tienen similares propiedades satisfechas a los politopos regulares clásicos (incluyendo los sólidos platónicos). Las restricciones, sin embargo, son suficientemente laxas? para que disecciones? regulares, hemicubos, y aún objetos tan extraños como el 11-cell o más extraños, sean todos ejemplos de politopos regulares. La teoría ha sido desarrollada ampliamente por Egon Schulte y Peter McMullen (McMullen, 2002), y otros investigadores también han realizado contribuciones.

Construcción

Polígonos

La forma tradicional de "construir" un polígono regular, o cualquier otra figura del plano, es usando una --regla graduada-- (más propiamente dicho, una --línea recta--) y un --compás--. Construir algunos polígonos regulares es muy fácil (el más fácil es posiblemente el triángulo equilátero), algunos más difíciles o "imposibles". Los pocos y más simples polígonos regulares que son "imposibles" de construir usando regla y compás son los polígonos de n-lados con n igual a 7,9,11,13,14,18,19,21, y ásí en adelante. (Ver --construcciones con regla y compás-- para mayor información).

Un tema? que es comúnmente sobrevista? sobre las construcciones de regla y compás es que para muchos polígonos, las construcciones son imposibles de realizar usando una regla real y un compás. Por ejemplo, se ha mostrado que es "posible" construir un 65537-gono regular usando sólo ésas herramientas. Sin embargo, si uno fuera a hacerlo, haciendo cada lado de 1 cm de largo, el polígono deberá ser de más de 200 m de diámetro?, y los radios a los incírculos? y los circuncírculos debería diferir por menos de un cuarto de un micrómetro — aproximadamente la longitud de onda de la --luz ultravioleta--! Uno debería necesitar una cámara ultravioleta para distinguir entre éste polígono y un círculo — sin mencionar el lápiz tan afilado para dibujarlo.! La construcción en cualquier caso sería extremadamente compleja, y es de interés teórico solamente.

Otra cosa? que es comúnmente sobremirada? es que aún los polígonos "no construibles" pueden ser construidos, si uno se satisface con un aproximación al polígono deseado, más que con una representación exacta. En realidad, con reglas y compases reales sostenidos por manos reales y dibujados en papel real, lo mejor que se puede lograr son aproximaciones aún para los así llamados polígonos "construibles". Un ejemplo que ilustra esto claramente es la siguiente construcción simple de un --heptágono-- regular:

* Usa el compás para dibujar un --círculo--.
 * Escoja un punto B en el círculo.
 * Sin ajustar el compás, coloque el compás en el punto B, y marque dos puntos A y C en el cículo (en lados opuestos de B).
 * --Bisecte-- la --cuerda-- AC, para encontrar el --punto medio-- D.
 * Ponga el compás a la distancia AD.
 * Use la distancia del compás para marcar 7 puntos alrededor del cículo original.
 

Esta construcción deberá, en la precisión? de un típico lápiz, construir un heptágono regular. Si el radio del círculo es de 5 cm, la distancia AD será de 4.3301 cm. Los lados de un heptágono regular debería ser de 4.3388 cm, una diferencia de menos de 0.1 mm. Muy pocos estudiantes, o aún --dibujantes?--, tienen lápices o compases con puntos tan finos como ése.

Poliedros

Los elementos de Euclídes (ver por ejemplo --http://www.dform.com/projects/euclid/home.html--) proporcionan una cantidad? de construcciones de regla y compás para los cinco sólidos platónicos. Sin embargo, solamente? la pregunta práctica de como uno podría dibujar una línea recta en el espacio, aún con una regla, deberá guiar a uno a la pregunta de que exactamente significa "construir" un poliedro regular (uno podría preguntar la misma pregunta sobre los polígonos, por supuesto).

La palabra inglesa "construcción" tienen la connotación de ir construyendo sistemáticamente la cosa? a construir. La forma más común presentada para construir un poliedro regular es vía una --red desdoblada--. Para obtener una red desdoblada de un poliedro, uno toma la superficie del poliedro y hace cortes a lo largo sólo los suficientes lados para que la superficie puede ser laid? plana. Esto da un plan para la red del poliedro sin no-doblado?. Dado que? los sólidos platónicos se componen? solamente de triángulos, cuadrados y pentágonos para las caras, y ésos son todos construibles con una regla y un compás, existen métodos de regla y compás por dibujar ésas redes desdobladas. Lo mismo se aplica a los poliedros de Kepler.

Si esta red es dibujada en una tarjeta de papel?, o un material que se pueda doblar (por ejemplo, hojas de metal), la red puede ser cortada, doblando a lo largo de los lados no cortados, uniendo a lo largo de los lados cortados apropiados, y así formando el poliedro para el cuál la red fue diseñada. Para un poliedro dado puede haber muchas redes desdobladas. Por ejemplo, hay 11 para el cubo, y más de 40,000 para el dodecaedro. Algunos interesantes redes desdobladas del cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro están disponibles en --http://www.progonos.com/furuti/MapProj/Normal/projPoly.html--.

Numerosos juguetes para niños, generalmente sugeridos en la edad bracket? teen o preteen?, permitiendo la experimientación con polígonos y poliedros regulares. Por ejemplo, --klikko-- provee sets? de triángulos plásticos, cuadrados, pentágonos y hexágonos que pueden ser unidos lado a lado en un gran número de formas diferentes. Un niño jugando con este juguete redescubre los sólidos platónicos (o los --sólidos arquimideanos--, especialmente con una pequeña guía de un adulto conocedor?.

En teoría, casi cualquier material puede ser usado para construir poliedros regulares. Instrucciones para construir modelos de --origami-- pueden encontrarse en --http://hverril.net/pages-helena/origami/pentagon/-- o en --http://www1.zetosa.com.pl/~burczyk/origami/galery1-en.htm--, por ejemplo. Se pueden labrar? en madera, modelados con alambre, formados de cristal stained?. La imaginación es el límite.

Dimensiones superiores

En mayores dimensiones, se vuelve más difícil decir lo que uno entiende por "construir" los objetos. Claramente, en un universo tridimensional, es imposible construir un modelo físico de un objeto cuatridimensional. Hay varias aproximaciones normalmente utilizadas para superar este punto?.

La primera aproximación es embeber el objeto de dimensiones superiores en el espacio tridimensional, usando métodos análogos a las formas en las que los objetos tridimensionales son dibujados en el plano. Por ejemplo, las redes desdobladas mencionadas en la sección previa tienen equivalentes en dimensiones superiores. Algunas de esas pueden ser vistas en --http://www.weimholt.com/andrew/polytope.shtml--. Uno debería aún imaginar construir un modelo de esta red desdoblada, como uno dibuja una red de desdoblada de un poliedro en una pieza de papel. Tristemente, nunca podremos hacer el doblado necesario de la estructura para obtener un politopo cuatridimensional, por las restricciones? del universo físico. Otra forma de "dibujar" las formas de dimensiones superiores en tres dimensiones es vía alguna clase de proyección, por ejemplo, el análogo de la --proyección ortográfica-- o de la proyección --perspectiva gráfica--. El famoso libro de Coxeter en politopos (Coxeter, 1948) tiene algunos ejemplos de tales proyecciones ortográficas. Otros ejemplos pueden encontrarse en la web (ver por ejemplo --http://mathworld.wolfram.com/600-Cell.htm--). Note que inmerger? los objetos cuatridimensionales directamente en dos dimensiones es muy confuso. Más fáciles de entender son los los modelos tridimensionales de las proyecciones. Tales modelos son ocasionalmente encontrados en museos de ciencia or departamentos de matemáticas de las universidades (tal como en la --Université Libre de Bruxelles--).

La intersección de un cuatrodimensional (o superior) politopo regular con un hiperplano tridimensional será un politpo (no necesariamente regular). Si el hiperplano es movido a través de la forma, las rebanadas tridimensionales pueden ser combinadas, --animadas-- en una cla se de cuatridimensional objeto, donde la cuarta dimensional pasa a ser el tiempo. De esta manera, podemos ver ( si no completamente grasp?) la estructura completa cuatridimensional del politopo regular cuatridimensional, via tales secciones cortadas a través. Este es análogo a la forma en que un --scanner CAT-- reensambla imágenes bidimensionales para formar una representación de los órganos siendo escanéados. El ideal debería ser un --holograma-- animado de cualquier tipo, sin embargo, aún una simple animación tal como la que se muestra puede ya ofrecer algún limitado insight? en la estructura del politopo.

Otr aforma en que un espectador tridimensional puede comprehender la estructura de un objeto cuatridimensional es a través de ser "inmerso" en el objeto, posiblemente vía alguna forma de tecnología de --realidad virtual--. Para entender como esto debería trabajar, imagine que una debería ver si el espacio estuviera lleno con cubos. El espectador debería estar dentro de uno de los cubos, y debería ser capaz de ver cubos enfrente, detrás, arriba, abajo, a la izquierda y a la derecha de él mismo. Si uno pudiera viajar en ésas direcciones, uno podría explorar el arreglo de cubos, y ganar en entendimiento de su estructura geométrica. Un arreglo infinito de cubos no es un politopo en el sentido tradicional. De hecho, es una disección? del --espacio Euclidiano-- tridimensional. Sin embargo, un politopo cuatridimensional puede ser considerado una disección de un --espacio no-Euclidiano-- tridimensional, digamos, una disección? de la superficie de una --esfera-- cuatridimensional. Localmente, este espacio se vera como aquel con el que estamos familiarizados, y por lo tanto, un sistema de realidad virtual podría, en principio, ser programado para permitir la exploración de ésas "disecciones", esto es, de los politopos regulares cuatridimensionales. El departamento de matemáticas en --UIUC-- tiene un número de imágenes de lo que uno debería ver si estuviera embebido en una disección? de un --espacio hiperbólico-- con dodecaedros. Tal disección? forma un ejemplo de un politopo regular abstracto infinito. Un ejemplo puede verse en --http://www.geom.uiuc.edu/graphics/pix/Special_Topics/Hiperbolic_Geometry/HSpace.html--.

Normalmente, para los politopos regulares abstractos, un matemático considera que el objeto es "construido" si la estructura de su --grupo de simetría-- es conocido. Esto es porque un importante teorema en el estudio de los politopos regulares abstractos provee una técnica que permite contruir el politopo regular abstracto de su grupo de simetría de una manera directa y estandard.

Politopos en la naturaleza

Polígonos

Numerosos polígonos regulares pueden observarse en la naturaleza. En el mundo de los minerales, los cristales a menudo tienen caras que son triangulares, cuadradas o hexagonales. Los --cuasicristales-- aún pueden tener pentágonos regulares como caras. Otro fascinante ejemplo de polígonos regulares ocurriendo como resultado de procesos geológicos pueden observarse en la --Causeway Giant's-- en Irlanda, o en la --Devil's Postpile-- en --California--, dónde el enfriamiento de --lava-- ha formado áreas tightly empaquetadas de columnas hexagonales de --basalto--.

Los más famosos hexágonos en la naturaleza se encuentran en el reino animal. Las cera de --honeycomb?-- de abejas es un arreglo de --hexágonos-- usados para almacenar miel y pólen, así como un lugar seguro para que las larvas crezcan. También existen animales que ellos mismos toman la forma aproximada de polígonos regulares (o al menos tienen la misma simetría) por ejemplo el --starfish-- y algunas veces otros --equinodermos-- tales como el --sea urchin-- muestra la simetría de un pentágono o algunas veces otros polígonos (tales como el heptágono). De hecho, los equinodermos no muestran --simetría radial-- exacta. Sin embargo, --jellyfish?-- y --comb jellies-- la presentan, usualmente cuatro-dobles (como el cuadrado) o ocho-dobles.

La simetría radial (y otras simetrías) es también ampliamente observada en el reino vegetal, particularmente entre las flores, (y en menor extensión), las semillas y las frutas, siendo la formas de simetría más comunes la pentagonal. Un ejemplo particularmente striking? es la -- starfruit?-- una fruta semejante al mango de Asia del Sureste?, de la cuál el corte seccional tiene forma de una estrella pentagonal.

Moviéndose fuera de la tierra al espacio, los primeros matemáticos realizaron cálculos usando la ley de gravitación de --Newton-- descubierta que establece? que si dos cuerpos (tales como el sol y la tierra) orbitan el uno al otro, existen ciertos puntos en el espacio dónde un cuerpo más pequeño (tal como un asteroide o una estación espacial) permanecerá en una órbita estable, siguiendo (por ejemplo) la tierra pero nunca escapando o cayendo detrás?. Esos puntos son llamados --puntos de Lagrange--. El sistema sol-tierra tiene cinco puntos Lagrangianos. Los dos más estables están exactamente 60° arriba y detrás de la tierra en su órbita. Esto es, uniendo el centro del sol y de la tierra y uno de los puntos Lagrangianos estables forman un triángulo equilátero. Los astrónomos ya han encontrado --asteroides troyanos-- en ésos puntos. Aún se debate wheter? es práctico conservar una estación espacial en el punto Lagrangiano — aunque podría nunca necesitar correcciones de curso, podría tener frecuentemente dodge? los asteroides que ya están presentes ahí! (ya hay satélites y observadores espaciales en los menos estables puntos Lagrangianos, los cuales no forman el punto de un triángulo equilátero con la tierra y el sol).

Poliedros

Los créditos por la primer construcción de los sólidos platónicos no van a la raza humana — cada uno de ellos ocurre naturalmente en una forma o en otra, aunque no todas ésas ocurrencias son visibles a puro ojo?. El tetraedro, cubo y octaedro todos ocurren como --cristales--. Esos de ninguna manera exhaust? el número de posibles formas de cristales (Smith, 1982, p 212), de los cuales son 48. Ni los icosaedros regulares ni los dodecaedros regulares están entre ellos, aunque una de las formas, llamada el --piritoedro-- (nombrado por el grupo de --piritas-- de la cual es típico) tiene doce caras pentagonales, arreglado en el mismo patrón como las caras del dodecaedro regular. Las caras del piritoedro son, sin embargo, no regulares, así que el piritoedro tampoco es regular.

Al inicio del siglo XX, --Ernst Haeckel-- describió (Haeckel, 1904) un número de especies de --Radiolaria?--, algunas de cuáles esqueletos son formados como varios poliedros regulares. Los ejemplos incluyen Circoporus octahedrus, Circogonia icosahedra, Lithocubus geometricus y Circorrhegma dodecahedra. Las formas de ésas criaturas deberían ser obvias de sus nombres.

Un más reciente descubrimiento es de una serie de nuevos tipos de moléculas de --carbón--, conocida como --fullerenes-- (ver (Curl, 1991) para una fácil lectura de la exposición de éste descubrimiento). Aunque C₆₀, la más fácilmente producida fullerene?, parece más o menos esférica, alguno de las más grandes variedades (tal como C₂₄₀, C₄₈₀ y C₉₆₀) hipotéticamente toman la forma de ligeros (sligthly?) icosaedros redondeados, de unos pocos nanómetros de ancho?.

Como un adicional: En tiempos antiguos los --pitagóricos-- creyeron que había una armonía entre los poliedros regulares y las órbitas de los --planetas--. En el siglo 17, --Johannes Kepler-- estudió datos del movimiento planetario compilados por --Tycho Brahe-- y durante una década trató de establecer el ideal pitagoreano encontrando una relación? entre los tamaños de los poliedros y los tamaños de las órbitas de los planetas. Su búsqueda falló en su objetivo general, pero de éstas investigaciones vinieron los descubrimientos de Kepler de los sólidos de Kepler como politopos regulares, la realización? de que las órbitas de los planetas no son círculos, y de --las leyes del movimiento planetario de Kepler-- por las cuáles se hizo famoso. En la época de Kepler sólo cinco planetas (excluyendo la tierra) eran conocidos, casi? igualando el número de sólidos platónicos. El trabajo de Kepler, y los descubrimientos desde ésa época de los planetas --Urano--, --Neptuno-- y --Plutón--, han echado por tierra? el ideal pitagoreano bien y verdaderamente entre los basureros de la historia científica.

Referencias

• (Bridge, 1974) Bridge, N. J.; Facetting the Dodecahedron Acta Crystallographica A30 pp548–552.
• (Coxeter, 1948) Coxeter, H. S. M.; Regular Polytopes, (Methuen and Co., 1948).
• (Coxeter, 1982) Coxeter, H. S. M.; Ten Toroids and Fifty-Seven hemi-Dodecahedra Geometrica Dedicata 13 pp87–99.
• (Coxeter, 1984) Coxeter, H. S. M.; A Symmetrical Arrangement of Eleven hemi-Icosahedra Annals of Discrete Mathematics 20 pp103–114.
• (Coxeter, 1999) Coxeter, H. S. M.; Du Val, P.; Flather, H. T.; Petrie, J. F.; The Fifty-Nine Icosahedra (Tarquin Publications, Stradbroke, England, 1999)
• (Curl, 1991) Curl, R. F.; Smalley, R. E.; Fullerenes, Scientific American 265 4 (1991) pp32–41.
• (Euclid) Euclid, Elements, English Translation by Heath, T. L.; (Cambridge University Press, 1956).
• (Grünbaum, 1977) Grünbaum, B.; Regularity of Graphs, Complexes and Designs, in Problèmes Combinatoires et Théorie des Graphes, Colloquium Internationale CNRS, Orsay, 260 pp191–197.
• (Haeckel, 1904) Haeckel, E.; Kunstformen der Natur (1904). Available as Haeckel, E.; Art forms in nature (Prestel USA, 1998), ISBN 3791319906, or online at http://caliban.mpiz-koeln.mpg.de/~stueber/haeckel/kunstformen/natur.html
• (Lindemann, 1987) Lindemann F.; Sitzunger Bayerische Akademie Der Wissenschaften 26 (1987) pp625–768.
• (McMullen, 2002) McMullen, P.; Schulte, S.; Abstract Regular Polytopes; (Cambridge University Press, 2002)
• (Sanford, 1930) Sanford, V.; A Short History Of Mathematics, (The Riverside Press, 1930).
• (Schläfli, 1855), Schläfli, L.; Reduction D'Une Integrale Multiple Qui Comprend L'Arc Du Cercle Et L'Aire Du Triangle Sphérique Comme Cas Particulières, Journal De Mathematiques 20 (1855) pp359–394.
• (Schläfli, 1858), Schläfli, L.; On The Multiple Integral ∫ⁿdxdy...dz, Whose Limits Are p₁=a₁x+b₁y+ ... +h₁z>0, p₂ > 0,...,p_n > 0 and x² + y² + ... + z² < 1 Quarterly Journal Of Pure And Applied Mathematics 2 (1858) pp269–301, 3 (1860) pp54–68, 97–108.
• (Schläfli, 1901), Schläfli, L.; Theorie Der Vielfachen Kontinuität, Denkschriften Der Schweizerischen Naturforschenden Gesellschaft 38 (1901) pp1–237.
• (Smith, 1982) Smith, J. V.; Geometrical And Structural Crystallography, (John Wiley and Sons, 1982).
• (Van der Waerden, 1954) Van der Waerden, B. L.; Science Awakening, (P Noordhoff Ltd, 1954), English Translation by Arnold Dresden.

Ver tambíén

• --H. S. M. Coxeter--
• --List of regular polytopes--
• Sólido platónico
• --Johnson solid--

Ligas externas

• --http://www.software3d.com/Stella.html Stella: Polyhedron Navigator-- Herramienta para explorar los poliedros e imprimir redes
• --http://caliban.mpiz-koeln.mpg.de/~stueber/haeckel/kunstformen/natur.html Ernst Haeckel's Kunstformen der Natur online (German)--
• --http://www.progonos.com/furuti/MapProj/Normal/ProjPoly/projPoly.html Interesantes redes desdobladas? del cubo, octaedro dodecaedro e icosaedro--

--Category:Polytopes--

Keywords: Politopo regular, 1800, 1938, 1974, 400 adC, Atenas, Cuadrado, Círculo