Número natural

Keywords: Número natural, Cardinal, Cero, Conjunto, Cuaterniones, Elemento neutro, Grupo matemático, Inducción

Sistema numérico en matemáticas.
Números Elementales
Naturales $\mathbb{N}$ {0,1,2,3...} Primos $\mathbb{P}$ {1,3,5,7,11...} Abundantes Amigos Compuestos Defectivos Perfectos Sociables Enteros $\mathbb{Z}$ {...-2,-1,0,+1,+2,...} Pares {...-2,0,+2,..} Impares {...-3,-1,+1,+3...} Racionales $\mathbb{Q}$ {...-1/2..0..1/2..1...} Reales $\mathbb{R}$ {Q U I U Tr} Irracionales $\mathbb{I}$ Algebraicos Trascendentes $Tr$ Pi(π)≈ 3.1415926535... Número e≈ 2.7182818284... Complejos $\mathbb{C}$ Unidad imaginaria $i = \sqrt{-1}$ Infinito ∞ Números infinitos Números transfinitos
Extensiones de los números complejos
Bicomplejos Hipercomplejos Cuaterniones $\mathbb{K}$ Octoniones Sedeniones Superreales Hiperreales Surreales
Números Especiales
Nominales Ordinales {1^o,2^o,...} (de orden) Cardinales { $\aleph_1, \aleph_2, \aleph_3, \cdots$ }
Otros números importantes
Secuencias de enteros Constantes matemáticas Lista de números Números grandes
Sistemas de numeración
en base constante Arábiga Babilónica China Japonesa Maya Romana

Algunos matemáticos (especialmente los de Teoría de Números) prefieren no reconocer el cero como un número natural, mientras que otros, especialmente los de Teoría de Conjuntos, Lógica e Informática, tienen la postura opuesta. En esta enciclopedia, cero es considerado un número natural.

Tabla de contenidos

1 Definiciones

1.1 Axiomas de Peano
1.2 Conjuntos inductivos y números naturales
1.3 Definición en teoría de conjuntos

2 Uso de los números naturales

3 Definiciones no matemáticos de los números naturales

4 Historia

Definiciones

Axiomas de Peano

Aunque cualquier niño pequeño entendería qué conocemos por números naturales, su definición no es sencilla. Los Postulados de Peano describen de manera unívoca (eso es bastante discutible, pues si alguien sabe algo de lógica seria, sabe que hay un modelo de la aritmética de Peano con elementos "infinitos" (la famosa aritmética no estándar), propiedad que no tienen los naturales usuales) el conjunto de los números naturales, que se denota por N o $\mathbb{N}$ (o más exactamente por el carácter informático unicode ℕ si su navegador soporta la representación de caracteres unicode), de la siguiente forma:

Sea el número natural 0
Cada número natural a tiene un subsiguiente, denotado por a + 1
No hay números naturales cuyo subsiguiente sea 0
Si dos números naturales son distintos, sus subsiguientes también lo son, esto es: si a ≠ b, entonces a + 1 ≠ b + 1
Si S es un subconjunto de los números naturales tal que
1. 0 está en S
2. si n está en S entonces n + 1 está en S,

entonces S es el conjunto de los números naturales

Conjuntos inductivos y números naturales

Una definición más acertada del conjunto de los números naturales, es el mínimo conjunto que es inductivo (mínimo conjunto tal que contiene al 0; y si tiene a un elemento n, entonces debe contener a n^+:=n U {n}; esa es la construcción formal de los naturales que garantiza su existencia como conjunto a la luz del desarrollo axiomático Zermelo-Fraenkel, aunque no vamos a entrar por ahora en detalles al respecto aunque se debería hacer).

Este último postulado asegura la validez de la técnica de demostración conocida como inducción matemática.

Definición en teoría de conjuntos

En teoría de conjuntos es común definir cada numero natural como el conjunto de todos los números naturales anteriores a él. Esto permite establecer una relación de orden entre los elementos del conjunto (sera mayor el número que mas números contenga), a pesar de un conjunto es por naturaleza un agregado de elementos desordenados.

Es posible definir por inducción la suma mediante la expresión:

a + (b + 1) = (a + b) + 1

Lo que convierte a los números naturales (N, +) en un monoide conmutativo con elemento neutro 0, el llamado Monoide Libre con un generador. Este monoide satisface la propiedad cancelativa y por lo tanto puede incluirse en en grupo matemático. El menor grupo que contiene a los naturales es el de los números enteros.

De manera análoga, la multiplicación × puede ser definida mediante lo siguiente: a × (b + 1) = ab + a. Esto convierte (N, ×) (esto es, N con esta nueva operación), en un monoide conmutativo; suma y multiplicación son compatibles gracias a la propiedad distributiva que se expresa como sigue:

a × (b + c) = ab + ac.

Encontramos que los números naturales están totalmente ordenados; lo comprobamos escribiendo a <= b si y sólo si existe otro número natural c que cumple: a + c = b. Este orden es compatible con todas las operaciones aritméticas de esta manera:

si a, b y c son números naturales y a ≤ b, entonces a + c ≤ b + c y ac ≤ bc

Una propiedad importante de los números naturales es que son tienen un buen orden: esto es, cualquier conjunto compuesto de números naturales tiene un elemento mínimo (uno más pequeño que los demás).

Mientras que en general no es posible dividir un número natural entre cualquier otro y que esta operación resulte un número natural; tenemos algo parecido a la división: para cualesquiera dos números naturales a y b, con b≠ 0 , podemos encontrar otros naturales q y r tales que

a = bq + r y r < b.

El número q lo llamamos el cociente y r el resto de esta división de a entre b. Los números a y b están unívocamente determinados por a y b.

Otras propiedades más complejas de los números naturales, como la distribución de los números primos por ejemplo, son estudiadas por la teoría de números.

Uso de los números naturales

Los números naturales son usados para dos propósitos, fundamentalmente: para describir la posición de un elemento en una secuencia ordenada, como se generaliza con el concepto de ordinal, y para especificar el tamaño de un conjunto finito, que a su vez se generaliza en el concepto de cardinal. En el mundo de lo finito, estos dos conceptos son coincidentes: los ordinales finitos son iguales a N así como los cardinales finitos. Cuando nos movemos más allá de lo finito, ambos conceptos no son el mismo.

Definiciones no matemáticos de los números naturales

Definición de Números: Son símbolos con los cuales se busca indicar una cantidad, estos símbolos según datos históricos comienzan en Egipto y Mesopotámica, no se sabe donde, cuando, ni por quien, pero fueron inventados por el hombre, al observar gran cantidad e variedad de elementos que la naturaleza le proporcionaba, surgió dentro de el la primera inquietud matemática.
Empezó a clasificar los elementos que tenia a su alrededor: árboles, frutas, animales, etc... Y luego los enumero 2 árboles, 3 manzanas, 5 rocas, etc... Fue así como de esta relación de orden y clasificación surgió el concepto de número abstracto y de allí surge la matemática.
definición de Natural: Según el diccionario Larouse se refiere a la naturaleza y también al originario de un lugar, ahora bien según Mirtha Elías K. en su libro Matemática de 7mo Grado, Pág. 9 Capitulo I, dice que natural es algo cotidiano y se usa casi sin advertirlo.
Porque es un Numero Natural: Según Mirtha Elías K. todo se encuentra en la naturaleza por eso los números naturales se llaman así, porque los usamos en forma natural casi sin advertirlo.
Enrique Navarro en su libro matemática de 7mo Grado, Pág. 16, los define como el conjunto de los números enteros positivos, entendiéndose por entero todo numero no decimal, ni fraccionario y como positivo todo numero que se ubica a la derecha del cero en la recta real.

Historia

Antes de que surgieran los números el hombre se las ingenió para contar, utilizando para ello objetos como piedras, palitos de madera, nudos de cuerdas, o simplemente los dedos. Más adelante comenzaron a aparecer los símbolos gráficos como señales para contar, por ejemplo marcas en una vara o simplemente trazos específicos sobre la arena. Pero fue en Mesopotamia alrededor del año 4.000 a. C. donde aparecen los primeros vestigios de los números que consistieron en grabados de señales en formas de cuñas sobre pequeños tableros de arcilla empleando para ello un palito aguzado. De aquí el nombre de escritura cuneiforme. Este sistema de numeración fue adoptado más tarde, aunque con símbolos gráficos diferentes, por los Griegos y Romanos. Los griegos emplearon simplemente las letras de su alfabeto, mientras que los Romanos además de las letras utilizaron algunos símbolos.