Números de Bernoulli

Keywords: Números de Bernoulli, Función zeta de Riemann, Recursión, Tangente, Valor absoluto, Tangente hiperbólica, Formula de Euler-Maclaurin, Project Gutenberg, Series de Taylor

Los números de Bernoulli se definen mediante una función generadora. Su función generadora exponencial es x/(e^x − 1), por lo tanto:

$\frac{x}{e^x-1} = \sum_{n=0}^{\infin} B_n \frac{x^n}{n!}$

para todo x con valor absoluto menor de 2π (el radio de convergencia de esta serie de potencias).

Los números de Bernoulli pueden calcularse mediante la siguiente fórmula recursiva:

$\sum_{j=0}^m{m+1\choose{j}}B_j = 0$

con la condición inicial B₀ = 1.

Los primeros números Bernoulli (secuencias A027641 y A027642) son los que aparecen en la siguiente tabla.

n	B_n
0	1
1	−1/2
2	1/6
3	0
4	−1/30
5	0
6	1/42
7	0
8	−1/30
9	0
10	5/66
11	0
12	−691/2730
13	0
14	7/6

B_n = 0 para todo 'n' impar distinto de 1.

Los números de Bernoulli aparecen en los desarrollos en series de Taylor de las funciones tangente y tangente hiperbólica, en la formula de Euler-Maclaurin, y en el cálculo de algunos valores de la función zeta de Riemann.

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The first 498 Bernoulli Numbers from Project Gutenberg

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