Número trascendente

Keywords: Número trascendente, 1844, 1873, 1874, 1882, Antónimo, Charles Hermite, Conjunto

Sistema numérico en matemáticas.
Números Elementales
Naturales $\mathbb{N}$ {0,1,2,3...} Primos $\mathbb{P}$ {1,3,5,7,11...} Abundantes Amigos Compuestos Defectivos Perfectos Sociables Enteros $\mathbb{Z}$ {...-2,-1,0,+1,+2,...} Pares {...-2,0,+2,..} Impares {...-3,-1,+1,+3...} Racionales $\mathbb{Q}$ {...-1/2..0..1/2..1...} Reales $\mathbb{R}$ {Q U I U Tr} Irracionales $\mathbb{I}$ Algebraicos Trascendentes $Tr$ Pi(π)≈ 3.1415926535... Número e≈ 2.7182818284... Complejos $\mathbb{C}$ Unidad imaginaria $i = \sqrt{-1}$ Infinito ∞ Números infinitos Números transfinitos
Extensiones de los números complejos
Bicomplejos Hipercomplejos Cuaterniones $\mathbb{K}$ Octoniones Sedeniones Superreales Hiperreales Surreales
Números Especiales
Nominales Ordinales {1^o,2^o,...} (de orden) Cardinales { $\aleph_1, \aleph_2, \aleph_3, \cdots$ }
Otros números importantes
Secuencias de enteros Constantes matemáticas Lista de números Números grandes
Sistemas de numeración
en base constante Arábiga Babilónica China Japonesa Maya Romana

Tamaño del conjunto

El conjunto de números algebráicos es contable, mientras el conjunto de números reales es incontable; por lo tanto, el conjunto de números transcendentes es también incontable, entonces es verdad que hay muchos más números transcendentes que algebráicos. Sin embargo, existen muy pocos números transcendentes conocidos, y demostrar que un número es transcendente puede ser extremadamente difícil. Por ejemplo, todavía no se sabe si la constante de Euler $Γ$ lo es, $Γ$ siendo: $\ln(n) - 1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} - \frac{1}{4}\cdots - \frac{1}{n}$ , cuando $n \to +\infty$ . La propiedad de la normalidad de un número puede contribuir a demostrar si es trascendente o no.

Historia

La existencia de los números trascendentes fue probada en 1844 por Joseph Liouville, quien mostró ejemplos, entre ellos la Constante de Liouville:

${\sum_{k=1}^\infty} 10^{-k!}=0,110001000000000000000001000\ldots$

donde el n-ésimo dígito después de la coma decimal es 1 si n es un factorial (es decir, 1, 2, 6, 24, 120, 720, etc.) y 0 en cualquier otro caso. El primer número del que se demostró que era trascendente sin haber sido específicamente construido para ello fue e, por Charles Hermite en 1873. En 1882, Carl Louis Ferdinand von Lindemann publicó una demostración de que π es trascendente. En 1874, Georg Cantor encontró el argumento descrito anteriormente estableciendo la ubicuidad de los números trascendentes.

El descubrimiento de estos números ha permitido la demostración de la imposibilidad de resolver varios antiguos problemas de geometría que sólo permiten utilizar regla y compás. El más conocido de ellos es el de la cuadratura del círculo, y su imposibilidad radica en que π es trascendente.

Ejemplos

Aquí está una lista de los números transcendentes más comunes:

e
π
$2^{\sqrt{2}}$ o, de forma más general, $a b$ donde $a \neq 0,1$ es algebraico y b es algebraico pero irracional. El caso general del séptimo problema de Hilbert, es decir, la determinación de si $a b$ es trascendental cuando $a \neq 0,1$ es algebraico y b es irracional, sigue abierto.
sen(1)
$ln(a)$ si a es positivo, racional y $\neq 1$ .
$\Gamma\left(\frac{1}{3}\right)$ y $\Gamma\left(\frac{1}{4}\right)$ (véase función Gamma).
$Ω$ , Constante de Chaitin.
$\sum_{k=0}^\infty 10^{-\lfloor \beta^{k} \rfloor};\qquad \beta > 1\; ,$

donde $\beta\mapsto\lfloor \beta \rfloor$ es la función parte entera. Por ejemplo, si β = 2 el número resultante es 0,1010001000000010000000000000001000...

$\sum_{k=0}^\infty 10^{-k!} = 0,110001000000000000000001000....$ Constante de Liouville