Número e

Keywords: Número e, Cuaterniones, Cuerpo, Ecuación diferencial, Exponencial, Factorial

Sistema numérico en matemáticas.
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Tabla de contenidos

1 Introducción

2 Definición

3 Propiedades

4 Función exponencial

5 Fuente

Introducción

El número e, base de los logaritmos naturales o neperianos, es sin duda el número más importante del campo del análisis.

Su valor aproximado es 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995 95749 66967 6277

A pesar de lo que parecen indicar los primeros decimales de e, se trata de un número irracional.

Definición

La definición más natural es la siguiente: e es el único número real cuyo logaritmo natural es 1:

$\ln e = 1 \quad$

lo que significa :

$\int_0^e \frac {dx} x = 1$

Propiedades

Las propiedades siguientes también pueden ser tomadas como definición de e.

1) e es la suma de los inversos de los factoriales:

$e = \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \cdots + \frac{1}{n!} + \cdots = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{k!}$

2) e es el límite de la sucesión de término general

$\left(1 + \frac{1}{n} \right)^n$

Esta propiedad aparece tan a menudo en los cálculos, y es tan frecuente pedir su demostración que se propone a continuación una prueba.

Primero, la propiedad se puede generalizar a una variable real, pasando del límite de una sucesión al de una función:

$e = \lim_{x \to \infin}(1 + \frac {1} {x})^x$

Como el término de derecha tiene un exponente que varía, lo más práctico es tomar su logaritmo:

$ln ((1 + h)^\frac {1} {h}) = \frac {ln(1+h)} {h} = \frac {h + O(h^2)} {h} = 1 + O(h)$

Porque ln(1 + h) equivale a h cuando h se aproxima a 0. Esta equivalencia se puede obtener al considerar la tangente en x = 1 a la curva del logaritmo (su ecuación es y = x - 1 y aproxima la curva y = ln x, por consiguiente ln x ~ x - 1 (en x = 1) o sea ln (1 + h) ~ h con h = x - 1 que tiende hacia 0).

Como el logaritmo se aproxima a 1, la expresión tiende hacia e.

Luego, con el cambio de variable

$x = \frac 1 h$

se obtiene

$e = \lim_{h \to 0^{+}}(1 + h)^\frac {1} {h}$

Es fácil ver que son dos veces la misma fórmula porque cuando h tiende hacia cero (por el lado positivo), su inverso x tiende hacia el infinito (positivo).

3) el desarrollo decimal de e no muestra regularidad alguna. Sin embargo, con las fracciones continuas, que pueden ser normalizadas (con los numeradores todos iguales a 1) o no, obtenemos, en fracción continua normalizada:

$e = 2 + \frac{1}{1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{4 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{6 + \frac{1}{1 + \cdots}}}}}}}}}$

lo que se escribe e = [2, 1,2,1, 1,4,1, 1,6,1 ... 1,2n,1, ... ], propiedad descubierta por Euler, y en fracción continua no normalizada:

$e = 2 + \frac{2}{2 + \frac{3}{3 + \frac{4}{5 + \frac{5}{6 + \frac{6}{7 + \frac{7}{8 + \cdots}}}}}}$

En ambos casos, e presenta regularidades no fortuitas.

4) e es irracional y trascendental.

Función exponencial

Se llama exponencial la función definida sobre los reales por $x \longmapsto e^x$

La exponencial es la única función que es siempre igual a su derivada (de ahí su especial interés en el análisis, más precisamente para las ecuaciones diferenciales), y que toma el valor 1 cuando la variable vale 0.
La exponencial se extiende al cuerpo de los complejos, verificando la relación: e^i.t = cos t + i sin t. Un caso particular de esta relación es la identidad de Euler.

En 1975, el suizo Felix A. Keller descubrió la siguiente fórmula que se aproxima a "e" ("expresión de Keller" Steven Finch, mathsoft):

$e = \lim_{n\to\infty} \quad {\rm }\frac{n^n}{(n-1)^{(n-1)}} - \frac{(n-1)^{(n-1)}}{(n-2)^{(n-2)}} \quad {\rm para}\quad\left|n\right|>2.$

Esta fórmula fue publicada por primera vez en 1998 en el sitio web sobre "e" http://www.mathsoft.com/asolve/constant/e/e.html de Steven Finch. Se llama "Expresión de Keller".

Fuente

La primera versión de este artículo proviene de Enciclopedia Libre - N%C3%BAmero_e, publicado bajo la licencia GFDL Categoría:constantes