Sucesión de Fibonacci

Keywords: Sucesión de Fibonacci, Leonardo de Pisa, Matemáticas, Número irracional, Número natural, Número primo, Número Áureo, Recursividad

En matemáticas, la sucesión de Fibonacci es una serie de números enteros que fue descrita por primera vez por Leonardo de Pisa (también conocido como Fibonacci). Se obtiene mediante la siguiente función recursiva:

$F(n)= \left\{ \begin{matrix} 1\,,\qquad\qquad\qquad\quad\,\ \ \,&&\mbox{si }n=1\,;\ \ \\ 1,\qquad\qquad\qquad\qquad\,&&\mbox{si }n=2;\ \ \,\\ F(n-1)+F(n-2)&&\mbox{si }n>2; \end{matrix} \right.$

Los veinte primeros términos de esta sucesión son:

n	F(n)	n	F(n)	n	F(n)	n	F(n)
1	1	6	8	11	89	16	987
2	1	7	13	12	144	17	1597
3	2	8	21	13	233	18	2584
4	3	9	34	14	377	19	4181
5	5	10	55	15	610	20	6765

Propiedades

Algunas propiedades de esta sucesión son:

La razón (el cociente) entre un término y el inmediatamente anterior varía continuamente, pero se estabiliza en un número irracional conocido como razón áurea o número áureo, que es la solución positiva de la ecuación x²-x-1=0, y se puede aproximar por 1,618033989.

Tomando estos valores para el número áureo y su inverso:

$\Phi = \frac{\sqrt{5} + 1}{2}$

$\phi = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$

se tiene la siguiente igualdad:

F(n) = (Φⁿ - φⁿ) · 5^1/2 / 2

Cualquier número natural se puede escribir mediante la suma de un número limitado de términos de la sucesión de Fibonacci, cada uno de ellos distinto a los demás. Por ejemplo, 17=13+3+1, 65=55+8+2.

Tan sólo un término de cada tres es par, uno de cada cuatro es múltiplo de 3, uno de cada cinco es múltiplo de 5, etc. Esto se puede generalizar, de forma que la sucesión de Fibonacci es periódica en las congruencias módulo m, para cualquier m.

Si F(p) es un número primo, p también es primo, con una única excepción. F(4)=3; 3 es primo, pero 4 no lo es.

La suma infinita de los términos de la sucesión F(n)/10ⁿ es exactamente 10/89.

Véase también:

Matemáticas
Arte Povera (movimiento artístico italiano de los años 60, muchas de cuyas obras se basan en este número).

Fibonacci, número