Número algebraico

Keywords: Número algebraico, Anillo, Campo, Cuaterniones, Extensión algebraica, Infinito, Lista de números, Matemáticas

Sistema numérico en matemáticas.
Números Elementales
Naturales $\mathbb{N}$ {0,1,2,3...} Primos $\mathbb{P}$ {1,3,5,7,11...} Abundantes Amigos Compuestos Defectivos Perfectos Sociables Enteros $\mathbb{Z}$ {...-2,-1,0,+1,+2,...} Pares {...-2,0,+2,..} Impares {...-3,-1,+1,+3...} Racionales $\mathbb{Q}$ {...-1/2..0..1/2..1...} Reales $\mathbb{R}$ {Q U I U Tr} Irracionales $\mathbb{I}$ Algebraicos Trascendentes $Tr$ Pi(π)≈ 3.1415926535... Número e≈ 2.7182818284... Complejos $\mathbb{C}$ Unidad imaginaria $i = \sqrt{-1}$ Infinito ∞ Números infinitos Números transfinitos
Extensiones de los números complejos
Bicomplejos Hipercomplejos Cuaterniones $\mathbb{K}$ Octoniones Sedeniones Superreales Hiperreales Surreales
Números Especiales
Nominales Ordinales {1^o,2^o,...} (de orden) Cardinales { $\aleph_1, \aleph_2, \aleph_3, \cdots$ }
Otros números importantes
Secuencias de enteros Constantes matemáticas Lista de números Números grandes
Sistemas de numeración
en base constante Arábiga Babilónica China Japonesa Maya Romana

a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + ... + a₁x¹ + a₀ = 0

donde n > 0 , cada a_i es entero y a_n es distinto de cero.

Todos los números racionales son algebraicos porque todas las fracciones de la forma a / b es solución de bx - a = 0. Algunos números irracionales como 2^1/2 (la raíz cuadrada de 2) y 3^1/3/2 (la mitad de la raíz cúbica de 3) también son algebraicas porque son soluciones de x² - 2 = 0 y 8x³ - 3 = 0, respectivamente. Pero no todos los números reales son algebraicos. Los ejemplos más conocidos son π y e. Si un número complejo no es algebraico, se dice que es un número trascendente.

Si un número algebraico es solución de una ecuación polinómica de grado n, pero no puede serlo de una ecuación polinómica de grado menor, entonces se dice que es un número algebraico de grado n.

La suma, diferencia, producto o cociente de dos números algebraicos vuelve a ser algebraico, y por lo tanto los números algebraicos constituyen un campo. Puede demostrarse que si los coeficientes a_i son números algebraicos cualesquiera, la solución de la ecuación volverá a ser un número algebraico. En otras palabras, el campo de los números algebraicos es algebraicamente cerrado. De hecho, es el campo algebraicamente cerrado más pequeño que contiene los racionales.

Todos los números que pueden escribirse a partir de los racionales empleando solamente las operaciones aritméticas +, -, *, /, potencias y raíces son algebraicos. Sin embargo, existen números algebraicos que no pueden escribirse de esta forma, y son todos de grado >5. Ésta es una consecuencia de la Teoría de Galois.

Un número algebraico que satisface una ecuación polinómica de grado n con a_n = 1 se denomina entero algebraico. Algunos ejemplos de enteros algebraicos son 3×2^1/2 + 5 y 6i - 2. La suma, diferencia y producto de enteros algebraicos vuelve a ser un enteros algebraicos, lo que significa que los enteros algebraicos forman un anillo. El nombre de entero algebraico proviene del hecho de que los únicos números racionales que son enteros algebraicos son los propios enteros.

Tanto la noción de número algebraico como la de entero algebraico pueden ser útilmente generalizadas en otros campos, además del campo de los complejos, véase extensión algebraica