Modelo exponencial

Keywords: Modelo exponencial, Bacteria, Epidemia, Integral, Población

Sea x(t) el tamaño de la población al tiempo t, si la velocidad a la que crece la población es proporcional al tamaño de la población en el instante t:

$\frac {dx} {dt} = k x(t)$

donde $\frac {dx} {dt}$ es la velocidad de crecimiento de la población, k es la constante de proporcionalidad y t es el tamaño de la población en el instante t.

Si se conoce el tamaño de la población en un instante t cualquiera, luego de integrar resulta:

x (t) = x 0 e k t

Este modelo -curva logística en forma de S- es adecuado para describir el crecimiento de una población de personas como el de bacterias en un cultivo o la forma en que se propaga una epidemia. No obstante, si se toman en cuenta fatores ambientales que reducen la tasa de crecimiento de la población, el tamaño de dicha población N(t) estará limitada a un cierto número máximo de M, tal que

$\lim_{N \to M} \frac {dN} {dt} = 0$ con 0 < N(t) < M

O sea que la velocidad de crecimiento es proporcional al producto del tamaño de la población N(t) y la diferencia M - N(t):

$\frac {dN} {dt} = k N(t) [M - N(t)]$