Mecánica hamiltoniana

Keywords: Mecánica hamiltoniana, 1833, Coordenadas cartesianas, Distribución de probabilidad, Ecuación diferencial, Espacio topológico, Estado (análisis funcional), Hamiltoniano (mecánica cuántica), Lagrangiano

Para la versión cuántica del Hamiltoniano ver: Hamiltoniano (mecánica cuántica)

La mecánica hamiltoniana fue inventada en 1833 por Hamilton. Como la mecánica lagrangiana, es una reformulación de la mecánica clásica. Los mecánica hamiltoniana puede ser formulada por si misma, usando los espacios simplécticos, sin referir a cualesquiera conceptos anteriores de fuerza o de la mecánica lagrangiana. Vea la sección en su formulación matemática para esto. Para la primera parte de este artículo, mostraremos cómo surge históricamente del estudio de la mecánica lagrangiana.

En mecánica lagrangiana, las ecuaciones del movimiento son dependientes de las coordenadas generalizadas:

q_j para j=1... N y de las velocidades generalizadas:

$\left\{ \dot{q_j} | j=1,...,N \right\}.$

abusando de la notación, escribimos el lagrangiano como

$L(q_j, \dot{q_j}, t),$

con las variables subscritas entendidas como representando todas las variables N de ese tipo. La mecánica hamiltoniana apunta a substituir las variables generalizadas de la velocidad por las variables generalizadas del momento, también conocidas como momento conjugado. Para cada velocidad generalizada, hay un momento conjugado correspondiente, definido como

$p_j = {\partial L \over \partial \dot{q_j}}.$

en coordenadas cartesianas, los momentos generalizados son precisamente los momentos lineales físicos. En coordenadas polares circulares, el momento generalizado que corresponde a la velocidad angular es el momento angular físico. Para una elección arbitraria de coordenadas generalizadas, puede no ser posible obtener una interpretación intuitiva de los momentos conjugados. El hamiltoniano es la transformación de Legendre del lagrangiano

$H \left(q_j,p_j,t\right) = \sum_i \dot{q_i} p_i - L(q_j,\dot{q_j},t).$

Si las ecuaciones de la transformación que definen las coordenadas generalizadas son independientes de t, puede ser demostrado que H es igual a la energía total E = T + V.

Cada lado en la definición de H produce un diferencial:

$\begin{matrix} dH &=& \sum_i \left[ \left({\partial H \over \partial q_i}\right) dq_i + \left({\partial H \over \partial p_i}\right) dp_i + \left({\partial H \over \partial t}\right) dt \right]\qquad\qquad\quad\quad \\ \\ &=& \sum_i \left[ \dot{q_i} dp_i + p_i d\dot{q_i} - \left({\partial L \over \partial q_i}\right) dq_i - \left({\partial L \over \partial \dot{q_i}}\right) d\dot{q_i} - \left({\partial L \over \partial t}\right) dt \right]. \end{matrix}$

substituyendo la definición anterior de los momentos conjugados en esta ecuación y emparejando coeficientes, obtenemos las ecuaciones del movimiento de la mecánica hamiltoniana, conocido como las ecuaciones canónicas de Hamilton:

${\partial H \over \partial q_j} = - \dot{p_j}, \qquad {\partial H \over \partial p_j} = \dot{q_j}, \qquad {\partial H \over \partial t } = - {\partial L \over \partial t}.$

las ecuaciones de Hamilton son ecuaciones de primer orden, y por tanto más fácil de solucionar que las ecuaciones de Lagrange, que son de segundo orden. Sin embargo, los pasos que conducen a las ecuaciones del movimiento son más costosos que en mecánica lagrangiana - comenzando con los coordenadas generalizadas y el lagrangiano, debemos calcular el hamiltoniano, expresar cada velocidad generalizada en términos de los momentos conjugados, y substituir las velocidades generalizadas en el hamiltoniano por los momentos conjugados.

Después de todo, hay poco ahorro de trabajo en solucionar un problema con la mecánica hamiltoniana más bien que con mecánica lagrangiana. En última instancia, producirá la misma solución que la mecánica lagrangiana y las leyes de Newton del movimiento. La atracción principal del enfoque hamiltoniano es que proporciona la base para resultados más profundos en la teoría de la mecánica clásica.

Formalismo matemático

Si tenemos un espacio simpléctico, que viene equipado naturalmente con un corchete de Poisson y de una función diferenciable H sobre ella, entonces H define una familia de transformaciones uniparamétricas con respecto al tiempo y esto se llama mecánica hamiltoniana. En particular,

$\frac{\partial}{\partial t} f=\{f,H\}.$

así pues, si tenemos una distribución de probabilidad, ρ, entonces

$\frac{\partial}{\partial t} \rho = - \{\rho ,H\}.$

esto se llama el Teorema de Liouville. Cada función diferenciable, G, sobre la variedad simpléctica genera una familia uniparamétrica de simplectomorfismos y si {G, h}=0, entonces G se conserva y los simplectomorfismos son transformaciones de simetría.

Vea también espacio simpléctico.

Álgebras de Poisson

Hay otra generalización que podemos hacer. En vez simplemente de mirar el álgebra de funciones diferenciables sobre una variedad simpléctica, la mecánica hamiltoniana se puede formular en un álgebra de Poisson real unital comutativa general. Un estado es una funcional lineal continua en el álgebra de Poisson (equipada de alguna topología conveniente) tales que para cualquier elemento del álgebra, A, A^2 va a un número real no negativo.

Vínculos externos

Weisstein, Eric W., "Hamiltonian"
Rychlik, Marek, "Lagrangian and Hamiltonian mechanics -- A short introduction"
Binney, James, "Classical Mechanics" (PostScript) [lecture notes] (PDF)

Keywords: Mecánica hamiltoniana, 1833, Coordenadas cartesianas, Distribución de probabilidad, Ecuación diferencial, Espacio topológico, Estado (análisis funcional), Hamiltoniano (mecánica cuántica), Lagrangiano