Matriz (matemáticas)

Keywords: Matriz (matemáticas), Cuerpo, Dimensión de un espacio vectorial, Elemento neutro, Escalar, Espacio vectorial, GFDL, Matemáticas

Para la matriz del sistema reproductivo, ver útero.

En el campo de las matemáticas, una matriz es basicamente un arreglo de elementos. Por ejemplo:

$C = \begin{pmatrix} C_{11} & C_{12} & C_{13} \\ C_{21} & C_{22} & C_{23} \\ C_{31} & C_{32} & C_{33} \\ C_{41} & C_{42} & C_{43} \end{pmatrix} , C \in M_{4,3}(\mathbb{C})$

La matriz C tiene cuatro filas, tres columnas y sus elementos pertenencen a $\mathbb{C}$ , cuerpo de los complejos. De aquí en adelante, tomaremos $\mathbb{R}$ como cuerpo de los escalares. El conjunto de las matrices de n filas, m columnas, con elementos reales se denomina $M_{n,m}(\mathbb{R})$ , y es isomorfo al conjunto $\mathbb{R}^{nm}$ , pues hay nm elementos reales en la matriz.

Tabla de contenidos

1 Suma de Matrices

2 Producto de una matriz por un escalar

3 Producto de Matrices

4 Clases de matrices

Suma de Matrices

Se define la suma (adición) en $M_{n,m}(\mathbb{R})$ de manera similar (gracias al isomorfismo) a la de $\mathbb{R}^{nm}$ , es decir sumando los elementos correspondientes que corresponden a la misma casilla de la matriz:

$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} \\ b_{31} & b_{32} & b_{33} \\ b_{41} & b_{42} & b_{43} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & a_{13}+b_{13} \\ a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & a_{23}+b_{23} \\ a_{31}+b_{31} & a_{32}+b_{32} & a_{33}+b_{33} \\ a_{41}+b_{41} & a_{42}+b_{42} & a_{43}+b_{43} \end{pmatrix}$

Producto de una matriz por un escalar

Con la misma facilidad se define el producto de una matriz por un número (llamado, en este contexto, un escalar, como es costumbre en los espacios vectoriales) :

$\lambda \begin{pmatrix} c_{11} & c_{12} & c_{13} \\ c_{21} & c_{22} & c_{23} \\ c_{31} & c_{32} & c_{33} \\ c_{41} & c_{42} & c_{43} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda c_{11} & \lambda c_{12} & \lambda c_{13} \\ \lambda c_{21} & \lambda c_{22} & \lambda c_{23} \\ \lambda c_{31} & \lambda c_{32} & \lambda c_{33} \\ \lambda c_{41} & \lambda c_{42} & \lambda c_{43} \end{pmatrix}$

Sin embargo, el concepto de matriz no se distinguiriría del de espacio vectorial si no fuera por la peculiar definición del producto de matrices, que se va a presentar en seguida.

Producto de Matrices

Consideremos el caso más sencillo, el de las matrices cuadradas de orden 2, es decir cuando n = m = 2. Las aplicaciones lineales del plano real que, al punto M(x₁,x₂) hacen corresponder el punto N(y₁,y₂) se expresan como un sistema de dos ecuaciones con dos variables. Las matrices permiten escribirlos más rapidamente. Así, por ejemplo, el sistema:

$\left \{ \begin{matrix} y_1 = a x_1 + b x_2\\ y_2 = c x_1 + d x_2 \end{matrix} \right.$

se escribe de forma matricial así:

$\begin{pmatrix} y_1\\ y_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\ x_2 \end{pmatrix}$

Como se ve, en la notación matricial, las variables soló aparecen una vez, así como el símbolo "=", y los signos "+" ni se escriben. Los ahorros de tiempo y energía no son enormes aquí, pero crecen con las dimensiones de la matriz.

Ahora bien, las aplicaciones lineales se pueden sumar, lo que daría la adición de las matrices que se definió arriba, pero no se pueden multiplicar. Sin embargo, existe otra operación, universal en el campo de las aplicaciones: la composición, es decir aplicar sucesivamente dos o más funciones a un objeto. Al componer:

$\left \{ \begin{matrix} z_1 = e y_1 + f y_2\\ z_2 = g y_1 + h y_2 \end{matrix} \right. \mbox{ con } \left \{ \begin{matrix} y_1 = a x_1 + b x_2\\ y_2 = c x_1 + d x_2 \end{matrix} \right.$

obtenemos:

$\left \{ \begin{matrix} z_1 = e(a x_1 + b x_2) + f(c x_1 + d x_2) = (ea + fc)x_1 + (eb + fd)x_2\\ z_2 = g(a x_1 + b x_2) + h(c x_1 + d x_2) = (ga + hc)x_1 + (gb + hd)x_2 \end{matrix} \right.$

lo que corresponde a la matriz:

$\begin{pmatrix} ea + fc & eb + fd\\ ga + hc & gb + hd \end{pmatrix}$

Por lo tanto se define el producto de matrices así:

$\begin{pmatrix} e & f \\ g & h \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ea + fc & eb + fd\\ ga + hc & gb + hd \end{pmatrix}$

right

Para recordar el método para multiplicar matrices, existe una disposición más llamativa: se sube la matriz de la derecha, y se escribe el producto debajo de ella:

La figura ilustra el hecho siguiente: si C = AB, el elemento de la matriz C en la línea i y la columna j es el producto de la fila i de A y de la columna j de B. ( en la figura: i = 1 y j = 2).

Matemáticamente, la fórmula se escribe :

$c_{ij} = \sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj}$

Imagen no existente
Matrices_encadenadas.png

Esto es posible sólo cuando el número de filas de B, es decir, la dimensión del espacio de salida de B, es igual al número de columnas de A, que es la dimensión del espacio de entrada de A.

El caso es parecido cuando se compone dos funciones f y g: En g°f, la imagen de f (Im f) debe estar incluida en el dominio de definición de g (D_g). Si f y g son lineales, Im f y D_g son de la forma $\mathbb{R}^n$ .

Se llama rango de la matriz la dimensión del espacio generado por sus columnas, consideradas como vectores. La dimensión es el número máximo de columnas independientes. También es la dimensión del espacio generado por las filas, y el número máximo de filas independientes.

Las aplicaciones lineales inversibles tienen un papel importante en las matemáticas. Para ser inversible a la izquierda y la derecha, una aplicación lineal debe tener espacios de entrada y salida de la misma dimensión, por lo tanto en el caso de las matrices, sólo pueden ser inversibles si n = m, es decir si son cuadradas. El elemento neutro del conjunto de las matrices cuadradas de orden n corresponde al neutro de las aplicaciones lineales, es decir a la aplicación idéntica. Se llama matriz identidad.

La primera versión de este artículo proviene de Enciclopedia Libre - matriz, publicado bajo la licencia GFDL

Clases de matrices

Matriz cuadrada
Matriz diagonal
Matriz cero
Matriz identidad
Matriz permutación
Matriz traspuesta
Matriz ortogonal
Matriz simétrica
Matriz antisimétrica
Matriz triangular (superior o inferior)
Matriz nilpotente
Matriz singular
Matriz no singular
Matriz banda
Matriz de diagonal estrictamente dominante
Matriz hermítica
Matriz idempotente
Matriz normal
Matriz jacobiana