Matriz identidad

Keywords: Matriz identidad, Delta de Kronecker, Dimensión, Elemento neutro, Espacio Euclídeo, Matriz, Matriz diagonal, Matriz permutación, Álgebra lineal

En álgebra lineal, la matriz identidad es una matriz que cumple la propiedad de ser el elemento neutro del producto matricial. Esto quiere decir que el producto de cualquier matriz por la matriz identidad (donde dicho producto esté definido) no tiene ningún efecto. La columna i-ésima de una matriz identidad es el vector unitario e_i de una base vectorial imersa en un espacio Euclídeo de dimensión n.

Como el producto de matrices sólo tiene sentido si sus dimensiones son compatibles, existen infinitas matrices identidad dependiendo de las dimensiones. I_n, la matriz identidad de tamaño n, se define como la matriz diagonal que tiene 1 en cada una de las entradas de la diagonal principal, y 0 en el resto. Así,

$I_1 = \begin{pmatrix} 1 \\\end{pmatrix} ,\ I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\\end{pmatrix} ,\ I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\\end{pmatrix} ,\ \cdots ,\ I_n = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \\\end{pmatrix}$

Empleando la notación que a veces se usa para describir concisamente las matrices diagonales, resulta:

I n = d i a g (1,1,...,1)

Si el tamaño es inmaterial, o se puede deducir de forma trivial por el contexto, entonces se escribe simplemente como I.

También se puede escribir usando la notación delta de Kronecker:

I i j = δ i j

o, de forma aún más sencilla,

I = (δ i j)

La matriz identidad de órden n puede ser tambien considerada como la matriz permutación que es elemento neutro del grupo de matrices de permutación de órden n!.

Keywords: Matriz identidad, Delta de Kronecker, Dimensión, Elemento neutro, Espacio Euclídeo, Matriz, Matriz diagonal, Matriz permutación, Álgebra lineal