Magma (álgebra)

Keywords: Magma (álgebra), Asociatividad, Axioma, Cancelativo, Computación, Conjunto, Conmutatividad, División (matemáticas), Elemento neutro

Tabla de contenidos

1 Introducción

2 Definiciones

Introducción

En álgebra abstracta, un magma es un tipo especialmente elemental de estructura algebraica.

Especificamente, un magma consiste de un conjunto X con una sola operación binaria en el. Es, usualmente (pero no siempre), interpretado como una forma de multiplicación. Ningún axioma es impuesto a la operación al definir un magma. Los magmas no son usualmente estudiados como tales; sino que se consideran diferentes tipos de magmas, dependiendo de que axiomas se requieran de la operación.

Definiciones

Tipos de magmas estudiados comunmente incluyen:

cuasigrupos -- magmas no vacíos donde la división es siempre posible;
loops -- cuasigrupos con elementos neutros;
semigrupos -- magmas donde la operación es asociativa;
monoides -- semigrupos con elemento neutro;
grupos -- monoides con elementos simétricos, o equivalentemente, cuasigrupos asociativos (que son siempre loops);
grupos abelianos -- grupos donde la operación es conmutativa.

El término "magma" fue introducido por Bourbaki. Previamente, el término "grupoide" fue común, y todavía es, a veces, utilizado. En esta enciclopedia, no obstante, reservamos "grupoide" para un concepto algebraico diferente, descrito en grupoide.

Hay lo que podemos llamar un magma libre sobre cualquier conjunto X. Puede ser descrito, en términos familiares en ciencias de la computación como el magma de los árboles binarios con operación dada por la yuxtaposición (ordenada) de los árboles por la raíz. Tiene por tanto un rol fundacional en sintaxis.

Más Definiciones

Un magma es llamado

medial si satisface la identidad xy.uz=xu.yz (i.e. (x*y)*(u*z)=(x*u)*(y*z)),
semimedial izquierdo si satisface la identidad xx.yz=xy.xz,
semimedial derecho si satisface la identidad yz.xx=yx.zx,
semimedial si es, a la vez, semimedial izquierdo y derecho,
distributivo izquierdo si satisface la identidad x.yz=xy.xz,
distributivo derecho si satisface la identidad yz.x=yx.zx,
autodistributivo si es, a la vez, distributivo izquierdo y derecho,
commutativo si satisface xy=yx,
idempotente si satisface xx=x,
unipotente si satisface xx=yy,
zeropotente si satisface xx.y=yy.x=xx,
alternativa si satisface xx.y=x.xy & x.yy=xy.y,
un semigrupo si satisface x.yz=xy.z (asociatividad),
un semigrupo con zeros izquierdos si satisface x=xy,
un semigrupo con zeros derechos si satisface x=yx,
un semigrupo con multiplicación nula si satisface xy=uv,
entrópico si es imagen homomórfica de un magma cancelativo.

No asociatividad

Una operación binaria * en un conjunto S que no satisfaga la ley asociativa se llama no-asociativa. Simbólicamente,

$(x*y)*z\ne x*(y*z)\qquad\mbox{para algunos }x,y,z\in S$

para tal operación el orden de la evaluación importa. La substracción y la división de números reales son ejemplos bien conocidos de operaciones no-asociativas:

$\left. \begin{matrix} (x-y)-z\ne x-(y-z)\quad \\ (x/y)/z\ne x/(y/z)\qquad\qquad \end{matrix} \right\} \mbox{para algunos }x,y,z\in\mathbb{R}$

En general, se deben utilizar paréntesis para indicar el orden de la evaluación si aparece una operación no-asociativa más de una vez en una expresión. Sin embargo, los matemáticos convienen en una orden particular de la evaluación para varias operaciones no-asociativas comunes. Esto tiene el estatus de una convención, no de una verdad matemática. Una operación izquierdo-asociable se evalúa convencionalmente de izquierda a derecha, es decir,

$\left. \begin{matrix} x*y*z=(x*y)*z\qquad\qquad\quad\, \\ w*x*y*z=((w*x)*y)*z\quad \\ \mbox{etc.}\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\ \ \, \end{matrix} \right\} \mbox{para todo }w,x,y,z\in S$

mientras que una operación derecho-asociable se evalúa convencionalmente de derecha a izquierda:

$\left. \begin{matrix} x*y*z=x*(y*z)\qquad\qquad\quad\, \\ w*x*y*z=w*(x*(y*z))\quad \\ \mbox{etc.}\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\ \ \, \end{matrix} \right\} \mbox{para todo }w,x,y,z\in S$

Las operaciones izquierdo-asociables y derecho-asociables ocurren; los ejemplos se dan abajo.

Más ejemplos

Las operaciones izquierdo-asociables incluyen las siguientes.

Substracción y división de números reales:

$x-y-z=(x-y)-z\qquad\mbox{para todo }x,y,z\in\mathbb{R};$

$x/y/z=(x/y)/z\qquad\qquad\quad\mbox{para todo }x,y,z\in\mathbb{R}\mbox{ con }y\ne0,z\ne0.$

Las operaciones derecho-asociables incluyen la siguiente.

Exponenciación de números reales:

$x^{y^z}=x^{(y^z)}.$

La razón por la que la exponenciación es derecho-asociable es que una operación izquierdo-asociable repetida del exponente sería menos útil. Múltiples apariciones se podrían reescribir con la multiplicación:

(x y) z = x (y z) .

El operador de asignación en muchos lenguajes de programación es derecho-asociable.

Por ejemplo, en el lenguaje C

x = y = z; significa x = (y = z); y no (x = y) = z;

Es decir la declaración asignaría el valor de z a ambos x y y.

Las operaciones no-asociativas para las cuales no se define ningun orden convencional de la evaluación incluyen el siguiente.

Tomar el promedio de números reales:

${(x+y)/2+z\over2}\ne{x+(y+z)/2\over2}\ne{x+y+z\over3}\qquad\mbox{para algunos }x,y,z\in\mathbb{R}.$

Tomar el complemento relativo de conjuntos:

$(A\backslash B)\backslash C\ne A\backslash (B\backslash C)\qquad\mbox{para algunos conjuntos }A,B,C.$

Ver tambien

Categoría de los magmas

enlaces externos

Jezek page
Definition list J.Jezek and T.Kepka: Medial groupoids Rozpravy CSAV, Rada mat. a prir. ved 93/2 (1983), 93 pp
Definition list but old groupoid for magma
medial groupoid groupoid = magma
A Catalogue of Algebraic Systems / John Pedersen no broken links
Mathematical Structures: medial groupoids groupoid = magma
operations
mathworld: Groupoid

Basado en el artículo de la wikipedia inglesa Categoría:álgebra abstracta