Lógica binaria

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La lógica binaria trabaja con variables binarias y operaciones lógicas.

Así, las variables sólo tomarán dos valores discretos: V (verdadero) y F (falso), sí y no, 1 y 0 respectivamente.

Las operaciones lógicas básicas son tres:

AND: También representada mediante ' · '
OR: También representada mediante ' + '
NOT: También representada mediante un apóstrofe ', un signo menos delante o una barra encima de la variable.

Luego existen otras operaciones compuestas a partir de las primeras:

XOR: [exclusive or] Se representa con el signo ' $\oplus \;$ '.
XNOR: [Not exclusive or] Se representa con el signo ' $\bigodot \;$ '.

Principio de dualidad

Todas las expresiones booleanas permanecen válidas si se intercambian los operadores '+' y '·', y los elementos '0' y '1'.

Así para obtener una expresión algebraica dual, se intercambian los operadores AND y OR y se reemplazan unos por ceros y viceversa.

Tablas de verdad de las principales operaciones binarias

AND

Resumiendo, solo da como resultado 1 cuando ambas variables toman el valor 1. (Equivale a la multiplicación)

Resuminedo, el resultado arrojado será siempre 1 si al menos una de las variables tiene por valor 1.

NOT

- 1 = 0
 - 0 = 1

El not es una inversión del valor como se ve. (Equivale a restar el valor inicial de 1)

Siguiendo el Álgebra de Boole se pueden combinar estas operaciones empleando varias variables y obteniendo resultados más complejos. A continuación una tabla de verdad de una operación lógica compuesta.

Ej:

A and (B or C) = A · (B + C)

A B C   Resultado 
 0 0 0     0 
 0 0 1     0
 0 1 0     0 
 0 1 1     0
 1 0 0     0 
 1 0 1     1
 1 1 0     1
 1 1 1     1

Axiomas

Propiedad conmutativa

$A + B= B + A \,\!$

$A \cdot B=B\cdot A$

Propiedad distributiva

$A \cdot (B+C)=A\cdot B+A\cdot C$

$A+(B \cdot C)=(A + B) \cdot (A + C)$

Otras propiedades

$\overline{\overline{A} \;} \;=A$
$A + A= A \,\!$
$A\cdot \; A= A$
$A+ \overline{A} \;=1$
$A\cdot \;\overline{A} \;=0$

Leyes de Morgan

$\overline{(A+B)} \;= \overline{A} \;\cdot \;\overline{B} \;$
$\overline{(A\cdot \;B)} \;= \overline{A} \;+\overline{B} \;$

Operadores XOR y XNOR

XOR: $A \oplus \; B= \overline{A} \;\cdot \;B +\overline{B} \;\cdot \;A$
XNOR: $A \bigodot \; B=A \cdot \; B +\overline{B} \; \cdot \; \overline{A} \;$

Véase también: