Logaritmo
Keywords: Logaritmo, 1550, 1614, 1618, Candela, Cálculo, Decibelio, División por cero, Escala de Richter
Logaritmo, en matemáticas, es el exponente o potencia a la que un número fijo, llamado base, se ha de elevar para dar un número dado. En cálculo se llama logaritmo natural o logaritmo neperiano a la primitiva de la función inversa definida como:
la cual toma el valor 0 cuando la variable x toma el valor 1, es decir:
También se llama así al logaritmo obtenido tomando como base el valor del número irracional "e" (equivalente a 2,718281828...).
Equivalentemente, la función logaritmo natural es la inversa de la función exponencial definida por
.
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Deducción
La derivada de la función 
es 
. Al dividir ambos lados de la expresión por "n" y observar el resultado, se puede afirmar que una primitiva de 
es 
(con m = n - 1). Este cálculo obviamente no es válido cuando m = - 1, porque no se puede dividir por cero. Por lo tanto, la función inversa 1/x es la única función "potencia" que no tiene una primitiva "potencia". Pero esta función es continua sobre el rango ]0; + ∞[ lo que implica que tiene forzosamente una primitiva en este intervalo, y también sobre ] - ∞ ; 0[.
En resumen: 
, y 
.
La función 
es estrictamente creciente pues su derivada es estrictamente positiva, y tiene límites infinitos en 0+ y en + ∞.
center
La tangente Te que pasa por el punto de abcisa e de la curva, pasa también por el origen.
La tangente T1 que pasa por el punto de abcisa 1 de la curva, tiene como ecuación: y = x - 1.
La derivada de segundo orden es ln"(x) = -1 / x2, siempre negativa, por lo tanto la función es cóncava, es decir que todas las tangentes pasan por encima de la curva. Es lo que se constata con T1 y Te.
Características útiles
- Los números positivos menores que 1 tienen logaritmo negativo.
- Los números positivos mayores que 1 tienen logaritmo positivo.
- Los números negativos tienen logaritmo complejo.
Propiedad fundamental
La denominada propiedad fundamental definida por:
(1) (con a>0 y b>0)
fue la que permitió inicialmente construir las primeras tablas de logaritmos cuyo propósito era hacer que calcular un producto fuese tan rápido como hallar una suma. En efecto, para calcular un producto, se buscaban en la tabla los logaritmos de los factores, se sumaban, y se buscaba el número cuyo logaritmo se aproximaba más a la expresión ln a + ln b. La hoy desaparecida regla de cálculo utilizaba el mismo proceso.
Prueba: Sea f(x) = ln (ax) - ln x. Derivando: f'(x) = a·(1/ax) - 1/x = 1/x - 1/x = 0, lo que significa que f es constante en el intervalo (0, + ∞). En consecuencia f(b) = f(1), es decir:
ln ab - ln b = ln a -ln 1, o sea ln ab = ln a + ln b.
consecuencias:
- ln (1/a) = - ln a. (2)
- ln (1/a) = - ln a. (2)
En efecto, ln(a) + ln (1/a) = ln (a· 1/a) = ln 1 = 0.
- ln (a/b) = ln a - ln b. (3)
- ln (a/b) = ln a - ln b. (3)
En efecto ln (a/b) = ln (a·1/b) = ln a + ln (1/b) = ln a - ln b.
- ln (an) = n.ln a. (4) , para cualquier valor real de n.
- ln (an) = n.ln a. (4) , para cualquier valor real de n.
Esto se demuestra por inducción para todo número entero natural "n", y luego para todo "n" entero, con (2), y luego para todo "n" racional, utilizando (3). La continuidad del logaritmo hace que una relación cierta en los racionales es también válida en los reales, lo que acaba la prueba.
Esta última relación permite resolver ciertas ecuaciones con la incógnita en el lugar de las potencias: ax = b tiene como solución x = lnb/lna cuando a ≠ 1, a>0 y b>0.
Sistemas de Ecuaciones Logarítmicas
Se llaman sistemas de ecuaciones logarítmicas a aquellos en los cuales una o más incógnitas se encuentran dentro de una operación de logaritmo. Se resuelven como los sistemas ordinarios pero utilizando las propiedades de los logaritmos para realizar transformaciones convenientes.
Logaritmos en otras bases
La elección de un determinado número como base de los logaritmos no es crucial, debido a que se pueden hacer conversiones de una base a otra de forma sencilla. Para ello, es útil la siguiente fórmula que define al logaritmo de x en base b(suponiendo que b, x, y k son números reales positivos y que tanto "b" como "k" son diferentes de 1):
en la que "k" es cualquier base válida. Si hacemos k=x, obtendremos:
En la práctica, se emplea el logaritmo decimal, que se indica como 
, en ciencias que hacen uso de las matemáticas, como la química en la medida de la acidez (denominada pH) y en física en magnitudes como la medida de la luminosidad (candela), del sonido(dB), de la energía de un terremoto (escala de Richter), etc. En informática se usa el logaritmo en base 2.
Historia
Joost Bürgi, un matemático y relojero suizo al servicio del Duque de Hesse-Kassel, concibió por vez primera los logaritmos. El método de logaritmos naturales fue propuesto inicialmente en 1614, en un libro intitulado Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio, por John Napier (latinizado Neperus), Barón de Merchiston en Escocia, que nació cerca de 1550, y murió en 1618, cuatro años después de la publicación de su memorable invención. Este método contribuyó al avance de la ciencia, y especialmente de la astronomía, facilitando la realización de cálculos difíciles. Antes del advenimiento de las calculadoras y computadoras, era constantemente usado en estadística, navegación, y otras ramas de las matemáticas prácticas. Además de su utilidad en el cómputo, los logaritmos también llenaron un importante lugar en las matemáticas avanzadas mayores.
La palabra ), con el significado de número, y se define, literalmente, como un número que indica una relación o proporción. Se refiere a la proposición que fue hecha por Napier en su teorema fundamental, que establece que la diferencia de dos logaritmos determina la relación de los números a los cuales corresponden, de manera que una serie aritmética de logaritmos corresponde a una serie geométrica de números. ¿como se calcula este logaritmo? logaritmo, que se debe a Napier, está formada de las palabras griegas λογος (logos), que significa razón o cociente, y αριθμoς (arithmos